1. Sirtning o`rta va to`la egriligi O`rta va to`la egriliklar uchun formulalar Doimiy Gauss egriligiga ega bo`lgan sirtlar

Sirtning o`rta va to`la egriligi
Reja:
1.Sirtning o`rta va to`la egriligi

2.O`rta va to`la egriliklar uchun formulalar

3.Doimiy Gauss egriligiga ega bo`lgan sirtlar

4.Doimiy manfiy gauss egriligiga ega bo`lgan sirt
Ta‘rif. Sirt egrilik chizig`ining egriligi sirtning bosh egriligi deyiladi.

Ta‘rif. Sirt bosh egriliklari yig`indisining yarmi sirtning o`rta egriligi deyiladi va Н bilan belgilanadi.

Ta‘rif. Sirt bosh egriliklarining ko`paytmasi sirtning to`la yoki Gauss egriligi deyiladi va К bilan belgilanadi.

Agar bosh egriliklarni deb belgilasak ta‘rifga asosan

Н= bo`ladi.

Sirtning elliptik nuqtasida bosh egriliklar bir hil ishoraga ega, shuning uchun bu nuqtada to`la egrilik musbat bo`ladi.

Giperbolik nuqtada bosh egriliklar bir hil ishoraga ega, shuning uchun bu nuqtada to`la egrilik manfiy. Parabolik va quyuqlashuv nuqtalarda to`la egrilik nolga teng bo`ladi.

Endi o`rta va to`la egriliklar uchun birinchi va ikkinchi kvadratik formalarning koeffsientlari orqali ifodalar topamiz. O`tgan paragrafda normal egrilik uchun ikkita

ifodalarni topgan edik. Bularning shaklini almashtirib

Ldu+Mdv-k_n(Edu+Fdv)=0

Mdu+Ndv-k_n(Fdu+Gdv)=0

ko`rinishda yozamiz. Bu tengliklardan du va dv larni yuqotib =0 ni olamiz.

yoki

(EG-F²)k_n²-(LG-2FM+NE)k_n+(LN-M²)=0

Bu kvadrat tenglamaning ildizlari bo`lib, ular bosh egriliklarni beradi. Viet teoremasiga asosan

(1)

(2)

(1) va (2) Formulalar yordamida o`rta va to`la egriliklar topiladi. Endi doimiy Gauss egriligiga ega bo`lgan sirtlarni kurib utamiz.

Gauss egriligi nolga teng bo`lgan sirtga misol sifatida tekislikni keltirish mumkin. Chunki tekislikda ixtiyoriy yo`nalish bo`yicha normal egrilik nolga tengdir. Shuning uchun xam Gauss egriligi nolga tengdir.

Doimiy musbat Gauss egriligiga ega bo`lgan sirt sferadir. Unda istalgan yo`nalish bo`yicha olingan normal egrilik 1/R ga teng. Shuning uchun Gauss egriligi K=1/R1/R=1/R<sup>2</sup>>0 bo`lib xar doim musbatdir.

Endi doimiy manfiy Gauss egriligiga ega bo`lgan sirtni kuramiz. Bunday sirtlar faqat aylanma sirtlar orasida bo`lishi mumkin.

Ta‘rif. Aylanma sirt deb, tekis egri chiziqni, shu egri chiziq tekisligida yotuvchi uqi atrofida yo`nalishidan xosil bo`lgan sirtga aytiladi.

Aylanma sirtlarni uqi orqali utuvchi tekislik bilan kesimi meridianlar deb, uqiga perpendikulyar bo`lgan tekislik bilan kesimi parallellar deb yuritiladi.

Aylanma sirtlar istalgan meridian tekisligiga nisbatan simmetrik bo`lgani uchun, meridian yo`nalishi bosh yo`nalishdan iboratdir. Xuddi shunga o`xshash parallellar yo`nalishi boshqa bosh yo`nalishlardan iboratdir.

Demak, meridian buylab olingan normal egrilik esa, parallelning Menre teoremasiga asosan olingan egriligiga teng.

Sirtning uqini z uqi deb olamiz va sirtning xz tekisligida joylashgan meridianini kurib chiqamiz.

Aytaylik x=x(z) bu meridianning tenglamasi bo`lsin. bu meridian bo`yicha sirtning normal egriligi

bo`ladi.

Parallellar bo`yicha normal egrilik esa.

bo`ladi.

Bu yerda 1/x  parallel egriligi, ifoda esa meridian o`rinmasi bilan sirt uqi orasidagi burchakning konusidan iborat. Bundan Gauss egriligi

bo`ladi.

Bu tenglikni ga ko`paytirib

ni olamiz.

Bu tenglikni integrallab, kuyidagi

ni olamiz.

Bu yerda S ( doimiy son. Navbatdagi integrallashni osonlashishi учун С=1 deb olamiz. U xolda

bo`ladi.

=tg desak, bundan

xosil bo`ladi. Yuqoridagilardan

Bundan

bu yerda С₁ ni 0 ga teng deb olish mumkin. Shunday qilib, sirtning meridiani quyidagi parametrik tenglamalar bilan berilar ekan, ya‘ni

Bu egri chiziq traktrisa deb ataladi. Bu chiziqning uzluksiz uqi atrofida aylanishidan xosil bo`lgan doimiy manfiy Gauss egriligiga ega bo`lgan sirt psevdosfera deyiladi.

Asosiy adabiyotlar:
1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.

2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003

3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.

4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.

5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.

6.Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.

7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.