1 Savol. Aniq integralning ta’rifi. Misol keltiring?

  , 4) 

5)  6)  , 7)  ,

8)  , 9)  , 10)  .
1-misol
Quyidagi limitlarni hisoblang:


   
► 1) Berilgan limitni hisoblashda 1-ajoyib limitdan foydalanamiz. Buning uchun quyidagicha almashtirish bajaramiz:



2) Bu limit va shu kabi limitlarni hisoblashda berilgan funksiya asosiga birni qo‘shib ayriladi va 2-ajoyib limitga keltiriladi:



Savol Birinchi tartibli o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama. Misol keltiring
O’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglama Agar (1) oddiy differensial tenglamada biror ikki о‘lchovli D sohada aniqlangan P va Q lar faqat bitta о‘zgaruvchining P=f(x), Q=g(y) funksiyalaridan iborat bо‘lsa, u vaqtda (1) tenglamaning kо‘rinishi f(x)dx+g(y)dy=0 (7) bо‘lib, uni о‘zgaruvchilari ajralgan oddiy differensial tenglama deyiladi. Bu tenglamada x y D x g y y f x        0, ( , ) ( ) 0, ( ) ekanligidan (3) munosabat о‘rinlidir. Shuning uchun (7) tenglama tо‘liq differensialli bо‘lib, uning umumiy integrali (14.4.6) formulaga asosan f d g d c y y x x     0 0 ()  ()  kо‘rinishda bо‘ladi. Bu holda oxirgini aniqmas integral vositasida   f (x)dx  g(y)dy  c (8) kо‘rinishda ham yozish mumkin. Agar (4) tenglamada Px y f x f y Qx y f x f y 1 2 3 4 ;   ; ;   bо‘lsa, u vaqtda f 1 x f 2 ydx  f 3 x f 4 ydy  0 (9) kо‘rinishdagi tenglamani о‘zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglama deyiladi va uni (7) kо‘rinishga, ya’ni о‘zgaruvchilari ajralgan holga keltirish mumkin. Haqiqatdan ham, (9) tenglamaning har ikki tomonini f 2 y f 3 x  0 deb faraz qilib, unga bо‘lsak, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 1  dy  f y f y dx f x f x kо‘rinishdagi о‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamning umumiy integrali (8) formulaga kо‘ra    dy  c f y f y dx f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 1 dan iboratdir. (9) ni f2(y) f3(x) ga bо‘lish natijasida f2(y) va f3(x) funksiyalar ildizlariga mos y=y0 va x=x0 yechimlar yо‘qotilgan bо‘lishi mumkin. Bu holni alohida tekshirib kо‘rishga tо‘g‘ri keladi. Xususiy holda ( ) ( ) 1 2 f x f y dx dy  kо‘rinishdagi tenglama ham о‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Haqiqatdan ham, berilgan tenglamani f2(y)0 faraz asosida, f x dx f y dy ( ) ( ) 1 2  yoki 0 ( ) 1 ( ) 2 1  dy  f y f x dx kо‘rinishda yozib, uning umumiy integralini (8) formulaga asosan topish mumkindir:    f x dx  c f y dy ( ) ( ) 1 2 bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir. Berilgan tenglamani f2(y) ga bо‘lish natijasida agar y0 f(y) funksiyaning ildizidan iborat bо‘lsa, uning y=y0 yechimi yо‘qotilgan bо‘lishi mumkinligini aytamiz
Savol Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama. Misol keltiring
Birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bо‘lgan P(x) y Q(x) dx dy   (14) kо‘rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama deb ataladi. Bu yerda P(x) va Q(x) funksiyalarni biror J intervalda aniqlangan va uzluksiz deb faraz qilamiz. Agar tenglamaning о‘ng tomoni Q(x)0 bо‘lsa, (14) tenglama  P(x) y  0 dx dy (15) kо‘rinishni oladi. Bu tenglamani berilgan (14.4.14) tenglamaga mos birjinsli chiziqli oddiy differensial tenglama deyiladi. (15) о‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir, ya’ni uni y dx ga kо‘paytirib, P x dx y dy   ( ) kо‘rinishga keltirish qiyin emas. Bu oxirgi tenglamaning umumiy integrali  ln y   P(x)dx  ln c yoki    P x dx y ce ( ) bо‘ladi. y ga bо‘lish natijasida y=0 yechimni yо‘qotdik. (16)da cR deb olsak, c=0 ga mos keluvchi y=0 о‘sha yо‘qotilgan yechimni beradi. Birinchi tartibli chiziqli (14) tenglamani yechishda Bernulli va ixtiyoriy о‘zgarmasni variatsiyalash (Lagranj) usullari mavjuddir. 1. Bernulli usuli. Bunda umumiy yechimni ikkita u(x) va (x) noma’lum funksiyalarning kо‘paytmasi shaklida izlanadi, ya’ni y=u(x)(x). Bunday shaklda izlash natijasida, ya’ni bita noma’lum о‘rniga ikkita noma’lum kiritilganligi sababli, ulardan birini ixtiyoriy tanlash imkoni paydo bо‘ladi. Oxirgini differensiallab, u=u+u ga ega bо‘lamiz. Buni e’tiborga olsak, (14.4.14) tenglamning kо‘rinishi u+u+P(x)u=Q(x) u(+P(x))+u=Q(x) (17) bо‘ladi. Noma’lum funksiyalardan birini, masalan  ni ixtiyoriy tanlash mumkinligidan foydalanib, uni (x)+P(x)(x) =0, xJ tenglik bajariladigan qilib, ya’ni (x) (15)ning yechimidan iborat qilib tanlaymiz. Demak,    P x dx e ( )  (18) deb olsak, bо‘ladi. ((16)da c=1 deb faraz qilingan holda).  ning bu ifodasini (17) tenglamaga qо‘ysak, u funksiyaga nisbatan quyidagi tenglamaga ega bо‘lamiz:   P x dx Q x e dx du ( ) ( ) Bu oxirgi tenglamaning umumiy integrali    u  Q x e dx c P( x)dx ( ) (19) bо‘ladi. (18) va (19) formulalar bilan aniqlangan u va  larning ifodasini yuqoridagi qilingan almashtirishga qо‘ysak, berilgan (14) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz, ya’ni             y e Q x e dx c P( x)d x P( x)d x ( ) (20) bu yerda c ixtiyoriy о‘zgarmasdir