1§. Parabolaning kanonik tenglamasi Tekislikda biror dekart koordinatalar sistemasida (1)

5§. Ellips, giperbola va parabolaning urinmalari
Bu chiziqlarning har biri o'ziga tegishli har bir nuqtaning atrofida birorta differensiallanuvchi funksianing grafigi bo'ladi. Shuning uchun, bu chiziqlar urinmalarining tenglamalarini tuzishda biz maktab kursidan ma'lum bo'lgan

tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Misol uchun ellipsning ordinatalari manfiy bo'lmagan nuqtalardan iborat qismi

funksianing grafigi bo'ladi. Bu funksianinig hosilasini topsak, u

ko'rinishda bo'ladi. Bu ifodalarni hisobga olib, ellipsga tegishli (x₀,y₀)nuqtadagi urinma tenglamasini yozamiz:

Bu tenglamada

tenglikni hisobga olsak, yuqoridagi tenglama ko'rinishga keladi.
Giperbola va parabola uchun urinma tenglamalarini keltirib chiqarish o'quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etiladi. Ularning (x₀, y₀)nuqtadagi urinmalari tenglamalari mos ravishda quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

6§. Ellips, giperbola va parabolaning optik xossalari
Biz ellipsning quyidagi optik xossasini isbotlaymiz
Teorema. Ellipsning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so'ng ikkinchi fokusga tushadi.
Isbot. Ellipsning chap F_Y fokusidan chiquvchi nur uning M nuqtasida sinib F₂
fokusga tushishini ko'rsatish uchun MF_X va MF₂ to'g'ri chiziqlarning Mnuqtadan
o'tuvchi urinma bilan teng burchaklar hosil qilishini ko'rsatishimiz kerak. Biz ellipsning M nuqtasidan o'tuvchi urinmasini £ bilan, £ to'g'ri chiziqga nisbatanF₁ nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtani F₁ * bilan belgilaymiz. Agar
a_l фос₂bo'lsa, Fj*F₂ to'g'ri chiziqning urinma bilan kesisich nuqtasini M nuqtasi bilan ustma -ust tushmaydi. Shuning uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Bu yerda a - ellipsning katta yarim o'qi.
Biz M* nuqtani urinma bo'ylab M nuqtadan uzoqlashtira boshlaymiz. Bunda yig'indi o'sa boshlaydi. Boshlang'ich holatda bu yig'indini qiymati,

Chizma-5
yuqaridai tengsizlikka ko'ra 2a dan kichik bo'lganligi uchun, yig'indi o'sish natijasida qandaydirN nuqtada 2a ga teng bo'ladi. Bu nuqtadan fokuslargacha bo'lgan masofalarning yig'indisi 2a ga teng bo'lganligi uchun, u ellipsga tegishli nuqta boladi.
Bundan esa £ urinma ellipsni ikkita nuqtada kesishi kelib chiqadi. Ellipsning har ir urinmasi uni faqat bitta nuqtada k esib o'tganligi uchun biz ziddiyat hosil qildiq. Demak a_x = a₂ tenglik o'rinli bo'ladi. Teorema isbotlandi.
Giperola va parabola uchun optik xossalsr qo'yidagi teoremalarda keltirilgan. Giperbola uchun optik xossa ellipsning optik xossasig o'xshaydi. Parabola uchun esa, optik xossa boshqasha formilirovka qilinadi. Agar biz yorig'lik manbaini, parabolaning fokusiga joylashtirsak, undan tarqaluvchi yorig'lik nurlari paraolaga urinib singandan so'ng direktrisaga perpendikulyat to'g'ri chiziqlar bo'ylab harakatlanadi. Bu ghiziqlarning optik xossalari fan vatexnikada ko'p qo'llaniladi. Misol uchun siz bilasizki paralaning optik xossasi antennalar yasashda ishlatiladi.
Giperbola va parabolaning optik xossalarini isbotlash o'quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

Chizma-6
Izoh. Giperbola va parabolaning urinmalari ham ellpsning urinmasi singari, ularni faqat bitta nuqtada kesib o'tadi.