1. Maxsus nuqta haqida tushincha. Maxsus nuqta turlari. Maxsus nuqtalarni aniqlash usullari

Та’rif 1. funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi, bartaraf qilinadigan, maxsus nuqta deyiladi, agar tenglik o’rinli bo’lsa. Bunday nuqta, maxsus nuqta bo’lib ko’p hollarda funksiya ustida amal bajarishda ishtirok etsa ham, u natijaga ta'sir qilmaydi, balki o’zini funksiyaning analitiklik (tpg’ri) nuqtasidek tutadi.

Ta'rif 2. funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi, muhim maxsus nuqta deyiladi, agar mavjud bo’lmasa.

Bunday nuqtaning nomlanishini o’zi, uning maxsus o’rin (status)ga egaligini bildiradi. Agar elementar funksiyalar qaralayotgan bo’lsa, muhim maxsus nuqta dа funksiyalar aniqlanadigan nuqta bo’ladi.

Ta'rif 3. funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi, qutb deyiladi, agar bo'lsа.

Bunday maxsus nuqta misollarda ko’p uchraydi. Uning asosiy xarakteristikasi, tartibi yoki karraligi hisoblanadi.

Agar qutbning tartibi 1 ga teng bo’lsa, u bir karrali yoki oddiy qutb deyiladi.

1. 
   Faraz qilaylik, nuqta funksiyaning qutbi bo’lsin. quyidagi ikkita hol bo’lishi mumkin:
   
2. 
   Agar nuqtada bo’lsa, u holda qutbning tartibi funksiyaning nuqtadagi noli tartibiga teng.
   

Agar nuqtadа bo’lsa, u holda qutbning tartibi, surat va maxraj nollari ayirmasi tartibiga teng.

Xulosa: qutbning tartibini aniqlash uchun uning surati va maxraji nollari tartibini aniqlash kerak ekan.

1. 
   Izoh: Agar nuqta qutb bo’lsa, maxraj nolining tartibi sur'at noli tartibidan katta bo’lishi kerak. Agar sur'at nolining tartibi, maxraj nolining tartibiga teng yoki undan katta bo’lsa, u holda bunday maxsus nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqta hisoblanadi. Funksiya nollarini aniqlashning ba'zi usullarini ko’rib chiqaylik.
   
2. 
   Agar funksiya z ga nisbatan ko’phad bo’lib qiymatda nolga aylansa, u holda nolning tartibi funksiya yoyilmasidagi ko’paytuvchi darajasi m ga teng.
   
3. 
   Agar funktsiya ko’phad bo’lmasdan nuqtada nolga aylansa, u holda funksiyani ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyish kerak va ning kichik darajasi, funksiya nolining tartibi bo’ladi.
   

Agar funksiya nuqtada nolga aylansa, u holda uni nolining tartibi, uning shu nuqtada noldan farqli dastlabki hosilasi tartibiga teng.

Bu usul hosilasi «yengil» hisoblanadigan funsiyalarga nisbatan qo’llaniladi.

Izoh: Cheksiz uzoqlashgan nuqta ham maxsus nuqta statusini olishi mumkin. Bu holda, maxsus nuqta turini aniqlash uchun funksiyaning limitini hisoblash kerak.

Misol 1. quyidagi funksiya maxsus nuqtalarini topib, ularning turini (qutb bo’lgan holda, tartibini) aniqlang. nuqta xarakterini tekshiring.

maxsus nuqtalari

а) nuqta-qutb, chunki

qutb tartibi 2 ga teng, chunki bu nuqtada sur'at nolga teng emas, maxrajning yoyilmasida esa z, 2-darajada qatnashadi.

qolgan boshqa nuqtalarda ham funksiya limiti cheksizga teng bo’ladi. Shuning uchun б) z₂=1 nuqta, 3- tartibli qutb chunki z₂=1 dа sur'at noldan farqli, maxrajning yoyilmasida z-1 ni darajasi 3 ga teng. в) z₃=-i nuqta -oddiy qutb,

г) nuqta –bartaraf etiladigan maxsus nuqta, chunki

Mavzu bo’yicha takrorlash savollari

1. Qanday nuqtaga maxsus nuqta deyiladi?

2. Maxsus nuqta turlarini sanab bering.

3. Maxsus nuqtalar qanday aniqlanadi?

4. Qanday maxsus nuqta bartaraf etiladigan maxsus nuqta deyiladi?

5. Qanday maxsus nuqta muhim maxsus nuqta deyiladi?

6. Qanday maxsus nuqta qutb deyiladi?

7. Yakkalangan nuqta deganda qanday nuqtani tushinasiz?