1-Мавзу: Кириш. Ҳисоблаш усулларининг асосий вазифалари. Хатоликлар назарияси элементлари

1-Мавзу: Кириш. Ҳисоблаш усулларининг асосий вазифалари.
Хатоликлар назарияси элементлари.
Моделлаштириш.

Асосий саволлар

1. Ҳисоблаш усулларини асосий вазифаси.

2. Хатолар манбаи
3. Функцияларни интерполяциялаш.

Мавзудаги асосий таянч тушунчалари (иборалари)

моделлаштириш, тақрибий ҳисоблаш, тақрибий қиймат, ҳисоблаш матема-

тикаси.


__1-асосий савол:
Ҳисоблаш усулларини асосий вазифалари


__Ўқитувчининг мақсади:__ Ҳисоблаш усуллари фанининг предмети ва таъ-
лимдаги урнини талабларига тушунтириб бериш. Хатолар ва моделлаш-
тириш бўйича тушунча бериш.


__Идентив ўқув мақсадлари __(талабалар учун ўқув мақсадлари)

1.1. Ҳисоблаш усуллари предметининг асосий масалаларини сузлаб бе-

риш.
1.2. Аниқ ва таркибий ечимларни фарқлаш.

1-чи асосий савол баёни:

Математика фани турмуш масалаларини ечишга бўлган эхтиёж туфайли вужудга келганлиги учун ҳам у ҳисоблаш математикаси бўлиб, унинг мақсади эса масала ечимини сон шаклида топишдан иборат.
Фан ва техниканинг жадал ривожланиши, атом ядросидан фойдаланиш, учувчи аппаратларни лойихалаш, космик учуш динамикаси, бошқариладиган термоядро синтёзи муаммоси муносабати билан плазма физикасини ўрганиш ва шунга ухшаш кўп масалаларни текшириш ва ечишни такозо килмокда. Бундай масалалар уз навбатида математиклар олдига янгидан-янги ҳисоблаш методларини яратиш вазифасини қўймокда. Юқорида қайд этилган масалаларни ечиш учун юқори тезликка эга бўлган ҳисоблаш системаларини яратилиши эса мавжуд методларни қайтадан куриб чикишга ва замонавий ҳисоблаш системаларини қўллашга молик янги методларни кашф этилишини токозо этмокда.
Хозирги замонда йирик табиий-илмий ва халк хужалигининг турлди масалаларини эффектив ечишда ЭХМларни кенг қўлламокда. Мураккаб муаммоларни тадкик этишда ЭХМ ёрдамида ўрганилаётган объектни математик моделини тузиш ва тахлил этиш технологияси кенг таркалмокда. Бундай тадкик этишни одатда ҳисоблаш эксперименти дейилади. Унинг схэмаси 1-шаклда кўрсатилган.

II
Математик модел

III
Сонли усул (дискрет модель ва хисоблаш алгоритми

I
тадкик этилаётган объект




V
Хисоблашни утказиш ва натижа тахлили



IV
ЭХМга программа

1-шакл

Математика масалаларини ечишга бўлган эхтиеж моделлаштириш натижасида вужудга келганлиги туфайли у хар бир масалага аниқ ечим топишга қаратилган, яъни ҳисоблаш математикаси бўлиб, унинг мақсади масала ечимини сонлар шаклида топишдан иборат эди.
М: Юзалар ва хажмларни улчаш, кема харакатини бошқариш, юлдузлар харакатини кузатиш ва х.к. Математика тарихига назар ташласак масалан; Вавилон олимларининг асосий фаолияти жадваллар тузишдан иборат бўлган, милоддан 2000 йил аввал тузилган 1 дан 60 гача сонларнинг квадратлар жадвали, милоддан олдинги 747-йилда тузилган Ой ва Куеш тутилиш жадвали.Кадимги Мисрликлар касрларни Миср касрлари шаклида ифодалаш жадвалини тузишган. Чизикли бўлмаган алгебраик тенгламаларни ечиш учун ватарлар усулини яратишган. Грек математикларидан Архимед π сони учун тенгсизликни кўрсатди, мелоддан аввал Герон итерацион методдан фойдаланган. Диофанд III асрда аниқмас тенгламаларни ечишдан ташкари, квадрат тенгламаларни сонли ечиш усулларини яратган.
IX асрда буюк узбек математиги Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий ҳисоблаш
методларини яратишга катта ҳисса қўшган, у π нинг тақрибий қийматини π≈ 3,1416 аниқлади, математик жадваллар тузишда фаол қатнашди. 960 йилда Абулвафо ал-Бузжоний синуслар жадвалини ҳисоблаш усулини ишлаб чикди ва sin (1/2)° нинг қийматини туккизта ишончли рақами билан берди, тангенс
функцияни қийматлар жадвалини тузди.
XVII асрда Ж.Непр, Й.Бюрги, Бригс, А.Влакк ва бошқалар томонидан яратилган логарифмик жадваллар, Лаплас сузи билан айтганда "... ҳисоблашларни кискартириб, астрономларнинг умрини узайтирди". Нихоят 1845 йилда Адамс ва 1946 йилда Леверьеларнинг ҳисоблашлари натижасида Нептун сайерасининг мавжудлиги ва унинг фазодаги урнини олдиндан айтишлари ҳисоблаш математикасининг буюук галабаси эди.
Ҳисоблаш жараенида маълум турдаги масаларни ечишда кул келадиган усулларни излашга тўғри келган, масалаларни моделлаштиришга харакат килинган. Бундай ҳисоблаш усулларнинг айримлари Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Чебишев, Эрмит номлари билан богликдир, яъни ҳисоблаш математикаси билан уз замонасининг буюк математиклари шуғулланишган.
Айрим замонларда математиклар эътиборини математик методларга катъий мантикий замин тайерлашга, қаратилганлиги боис, математик тадкикотларни сунги сонли натижаларигача етказиш яъни ҳисоблаш методларини яратишга ҳам эътибор берган, бу соҳа эса математиканинг тадкикотлари учун жуда зарурдир.
Фан ва техника ривожланган сари татбикий математиканинг ҳам кўлами ошиб бормокда, унда шундай масалалар гурухига дуч келиш мумкинки уларни ечишда классик усулллардан фойдаланиб бўлмайди. Масалан: тартиби жуда катта бўлган алгебрани тенгламалар системасини ечиш, матрицаларнинг тескарисини топиш,матрицанинг хос сонларини топиш, алгебраик ва трансцендент тенгла-
маларни ҳамда бундай тенгламалар системасини ечиш вах.к.
Фан ва техниканинг жуда ривожланиб бориши кўп масалаларни текшириш ва ечишни такозо килади. Бундай масалалар уз навбатида математиклар олдига янги ҳисоблаш усулларини яратиш вазифасини куяди.Иккинчи томондан техникани ривожланиши математиклар кулига кучли ҳисоблаш воситаларини бермокда. Яъни мавжуд методларни янги машиналарда қўллаш учун қайта кўриб чиқиш эҳтиежи туғилмоқда.
Математикада типик математик масалаларнинг ечимларининг етарлича аниқлашда ҳисоблаш имконнини берувчи методларини яратишга ва шу мақсадда ҳозирги замон ҳисоблаш воситаларидан фойдаланиш йўлларини ишлаб чиқишга бағишланган соҳа ҳисоблаш математикаси дейилади.
Ҳозирги замон ҳисоблаш математикаси жадал ривожланиб бормокда. Ҳисоблаш математикасининг қамрови ҳам жуда кенг, табиийки масалалар хилма хил уларнинг ечимлари ҳам жуда кўп. Шунга қарамай бу ечиш усулларининг умумий ғояси ҳақида сз юритиш мумкин.
Ҳисоблаш математикасида учрайдиган кўп масалаларни


(1)
кўринишда ёзиш мумкин, бунда Х ва А лар ҳақида маълумотлар берилган бўлиб, Уни топиш лозим бўлса, бундай масала тўғри масала дейилади. Аксинча А ва У ҳақида маълумот берилган бўлиб Х ни топиш керак бўлса тескари масала дейилади. Бундай масалалар ҳар доим ҳам аниқ ечилавермаслиги сабабли ҳисоблаш математикасига мурожат қилинади. Баъзи ҳолларда тежамкор усуллар ишлаб чикиш зарурати туғилади. Масалан: чизикли алгебрик тенгламалар системасини ечишда Крамер формулаларига қараганда Гаусс усули анча тежамкор.
Ҳисоблаш математикасида юқоридаги масалаларнинг ҳал қилишнинг асосий моҳияти R1, R2 фазоларни ва А операторни ( Х Є R1, У Є R2 ) ҳисоблаш учун қулай бўлган мос равишда бошқа фазолар ва оператор билан алмаштиришдан иборатдир. Базъан уларни факат бирини алмаштириш билан кифояланиш мумкин. Шундай алмаштиришлардан кейин ҳосил бўлган янги

масаланинг ечими бирор маънода (1) масаланинг ечимига яқин бўлсин ва бу ечимни кўп меҳнат сарфламасдан топиш мумкин бўлсин.

Демак ҳисоблаш математикаси олдига қўйилган асосий масала функционал фазода операторларни яқинлаштириш ҳамда ҳозирги замон ҳисоблаш машиналари қўлланадиган шароитда масалаларни ечиш учун оқилона ва тежамкор алгоритм ва усулларни ишлаб чиқишдан иборатдир.


__2-Асосий савол
Хатолар манбаи.


__Ўқитувчининг мақсади:__ математик моделлаштиришда қўйиладиган хато-
ликларни талабаларга тушунтириш, аниқ ечи-
ми билан таркибий ечим орасидаги фарларни
талабаларга етказиш.


__Идентив ўқув мақсадлари __(талабалар учун ўқув мақсади)

2.1. Математиканинг баъзи бобларидаги аниқ ечимларни эсга олиш ва

уларни таркибий ечимлардан фарқлаш.
2.2. хатолар манбаини билиш.

2-чи асосий савол баени

ХАТОЛАР МАНБАИ.

Кўпинча математик масалаларни сонли усулларда ечишда биз доимо аниқ ечим олаолмай-миз тақрибий ечим оламиз. Аниқ ечим билан олинган тақрибий ечим орасидаги хатолик қандай килиб келиб колди деган савол тугилиши табиий ҳол. Бунинг учун хатоликларнинг ҳосил бўлиш сабабларини ўрганиш лозим.

Табиатдаги бирор харакатини микдорий нисбатларини у еки бу функцияларини, тенглама-ларини ифодалаш мумкин, бу функцияларни бир кисми маълум бўлиб дастлабки маълумотлар, одатда бошқаларини топишга тўғри келади. Дастлабки маълумотлар одатда тажрибадан олинади. Масалан:ёруглик тёзлиги, Пленк доимийси, Авагадро сони ва бошқалар еки бошқа бирор масалани ечишдан ҳосил бўлади. Ҳар иккала ҳолда ҳам биз дастлабки маълумотларни аниқ қийматига эга эмасмиз, балки тақрибий қийматига эга бўламиз.
Аниқ ечим билан тақрибий ечим орасидаги фарқ хато дейилади.Дастлабки маълумотларнинг ноаниқлиги натижасида ҳосил бўлган хато йўқотилмас хато дейилади. Бу хатолик математик-ка боглик бўлмасдан унга берилган маълумотларнинг аниқлигига богликдир. Лекин хисоблови дастлабки хатоликни катталигини билиши ва шунга қараб йўқотилмас хатони баҳолаши керак. Агар дастлабки хатолик ката бўлса,канчалик аниқ усул билан ҳисоблаш олиб борилишидан катъий назар кузланган мақсадга эришилмайди.
Масалани ечишда айрим идеаллаштиришлар қўлланилади, яъни табиий масалани математик модели ўрганилади. Ходисани аниқ ифодалайдиган модель бўлавермайди. Бунинг натижасида хатолик келиб чиқади, унга метод хатоси ёки модел хатоси дейилади.
Биз доимо π, е, Ln2 ва шунга ухшаш иррационал сонларни тақрибий кийматларини оламиз, натижада__ ҳисоблаш хатолиги __пайдо бўлади.
Юқоридаги хатоларни барчаси бирлашиб__ тўлиқ хатолиги__ ташкил килади.