1-mavzu. Hosil a

1-mavzu. H O S I L A

DIFERENSIALLASH QOIDALARI VA ASOSIY ELEMENTAR FUNKSIYALARNING HOSILALARI



Misol 582. Hosilaning ta’rifidan foydalanib y=x­­² funksiya hosilasini toping.

Yechilishi.

Diferensiallash qoidalari

I. III.

II. IV.

Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .6. .

7. . 8 9. . 10. .11. .

12. . 13. . 14. 15. . 16. .

MURAKKAB FUNKSIYANING HOSILASI

Agar y=f(u) bo’lib u= φ(x) bo’lsa, ya’ni y funksiya x argument bilan oraliqda turgan u argument orqali bog’langan bo’lsa, y ni x ning MURAKKAB FUNKSIYASI deyiladi.

Murakkab funksiyaning hosilasi, y ning u oraliq argument bo’yicha hosilasi bilan oraliq argument u ning x bo’yicha hosilaning ko’paytmasiga teng, ya’ni yoki .

Agar y=f(u) bo’lib, u=φ(x) bo’lsa, hosilalar jadvali quyidagi ko’rinishni oladi:

1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13. 14. .

Misol 583.

Yechilishi.





OSHKORMAS FUNKSIYANING HOSILASI

F(x;y)=0 (1) tenglama o’zgaruvchilardan birortasiga nisbatan yechilmaganligi tufayli uni OSHKORMAS funksiya deyiladi.

Agar (1) funksiya y o’zgaruvchiga nisbatan y=f(x) ko’rinishda yechilgan bo’lsa, uni (1) ning OSHKOR ko’rinishi deyiladi.

Misol 584. x² + y² – a²=0 (2) oshkormas funksiya. Uni y ga nisbatan yechsak

y²=a² – x²y= , ya’ni y=- (3) va y= (4) larga ega bo’lamiz. (3) va (4) ni (2) ga qo’yilsa uni ayniyatga aylantiradi.

Har qanday oshkor ko’rinishdagi y=f(x) funksiyani y-f(x)=0 oshkormas funksiya ko’rinishida yozish mumkin.

Endi oshkormas funksiyadan hosila olishni ko’rsatamiz:

Misol 585. x²+y²-a²=0

Bunda y o’zgaruvchi x ning funksiyasi sifatida qaraladi va tenglikning ikki tomonidan x bo’yicha hosila olinadi:

2x+2y

Haqiqatan x²+y²-a²=0 funksiya y ga nisbatan yechilib, undan x bo’yicha hosila olinganda ham shu natija olinadi:

.

TESKARI FUNKSIYA VA UNING HOSILASI

Bizga y=f(x) funksiya berilgan bo’lib, bu funksiya x ga nisbatan x=(y) ko’rinishda yechilgan bo’lsa, y=f(x) va x=(y) funksiyalarni o’zaro teskari funksiyalar deyiladi.

y=f(x) va x=(y) funksiyalarning grafiklari bitta egri chiziqdan iborat bo’ladi, biroq x=(y) dagi x ni y bilan, y ni x bilan almashtirilsa, har xil egri chiziqlar hosil bo’ladi.

y=f(x) va x=(y) lar uchun y(x)= tenglik to’g’ri bo’ladi.

Misol 586.

Haqiqatdan bo’ladi.

TESKARI TRIGONOMETRIK FUNKSIYANING HOSILASI

1. 
   y=arcsinx siny=sinarcsinx x=siny- 1x1; -
   

Teorema. y=arcsinx funksiyaning hosilasi ga teng.

Isboti. y=arcsinxx=sinyx_y=cosy.

Teskari funksiyaning hosilasini olish qoidasiga asosan: bo’ladi.

Biroq bo’ladi.

Misol 587. y=arcsin e^x

Yechilishi.

Teorema. y=arccosx funksiyaning hosilasi ga teng.

Isboti.

y=arccosxcosy=cosarccosxx=cosyx_y=-siny

bo’ladi.

Teorema. y=arctgx funksiyasining hosilasi bo’ladi.

Isboti. tgy=tgarctgxx=tgy; x_y=

cos²y=

Teorema. y=arcctgx funksiyaning hosilasi ga teng.

Isboti. y=arcctgxctgy=ctgarcctgxx=ctgy

bo’ladi.

YUQORI TARTIBLI HOSILALAR

y=f(x) funksiya (a;b) oraliqda defferensiallanuvchi bo’lsa, undan olingan birinchi tartibli y=f(x) hosila (a;b) oraliqda aniqlangan bo’ladi. Agar y=f(x) funksiyaning x_o nuqtadagi hosilasi mavjud bo’lsa, uni y=f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va qo’yidagicha yoziladi:

y(x₀)=f(x₀)=

Shuningdek

… .

Мisol 588. Mahsulot ishlab chiqarish harajati y va mahsulot hajmi x orasida bog’lanish bo’lsin. Ishlab chiqarish hajmi:

1. 
   5 birlik;
   
2. 
   10 birlik bo’lganda limitik harajatni aniqlang.
   

Yechilishi.

Buning iqtisodiy mazmuni quyidagicha: mahsulot ishlab chiqarish hajmi 5 birlik bo’lganda, mahsulot ishlab chiqarish harajati kelgusi mahsulotni ishlab chiqarishga o’tishda 97,5 nitashkil etadi; ishlab chiqarish hajmi 10 birlik bo’lganda esa u 90 ni tashkil etadi.

LEYBNITS FORMULASI:

Xususan: (u ^. v)=u^. v + u ^. v.

Misol 589. y=x⁶ + 3x³ – 5x² +7; y= 6x⁵ + 9x² – 10x;

y=30x⁴ + 18x; y=120x³ + 18;

y^IV=720x; y^V=720; y^VI=0;

MUSTAQIL BAJARISH UCHUN TOPSHIRIQLAR

Quyidagi funksiyalarning hosilalarini ta’rifdan foydalanib toping:

590. y=x. 591. y=x²+x. 592. y= . 593. y=ln x.

Quyidagi murakkab funksiyalarning hosilalarini toping:

594. Javobi:

595. Javobi:

596. Javobi:

597. Javobi:

598. Javobi:

599. Javobi: