1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

Funksiyaning differensiallanuvchanligi.
Ta'rif: Agar y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada chekli hosilaga ega bo‘lsa, ya’ni mavjud bo‘lsa, u holda berilgan x=x₀ qiymatda funksiya differensiallanuvchi yoki hosilaga ega deyiladi. Agar funksiya biror [a,b] kesmaning yoki (a,b) intervalining har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya kesmada yoki intervalda differensiallanuvchi deyiladi.
Teorema: Agar y=f(x) funksiya biror x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir.
Isboti: y=f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lgani uchun - chekli son.
Limitga ega bo‘lgan funksiya o‘zgarmas va cheksiz kichik funksiya yig‘indisiga teng bo‘lgani uchun quyidagicha yoza olamiz:
bu yerda da nolga intiluvchi funksiya, u holda bo‘ladi. Bundan da , bu esa x₀ nuqtada f(x) funksiya uzluksiz demakdir.
Shunday qilib, uzilish nuqtasida funksiya hosilaga ega bo‘la olmaydi. Teskari xulosa to‘g‘ri emas, ya’ni biror x=x₀ nuqtada y=f(x) funksiya uzluksiz bo‘lishidan bu nuqtada u differensiallanuvchi ham bo‘ladi degan xulosa chiqmaydi, nuqtada funksiya hosilaga ega bo‘lmasligi ham mumkin.

4.5.5. O‘zgarmas miqdorning hosilasi. O‘zgarmas miqdor bilan funksiya ko‘paytmasining hosilasi, yig‘indining, ko‘paytmaning, bo‘linmaning hosilasi.
1. O‘zgarmas miqdorning hosilasi nolga teng, ya’ni agar y=c bo‘lsa (c=const) y'=0 bo‘ladi.
2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin y=cu(x) bo‘lsa y'=cu'(x) bo‘ladi.
3. Chekli sondagi differentsiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining hosilasi shu funksiyalar hosilalarining yig‘indisiga teng.

4. Ikkita differensiallanuvchi funksiyalar ko‘paytmasining hosilasi birinchi funksiya hosilasining ikkinchi funksiya bilan ko‘paytmasi plyus birinchi funksiyaning ikkinchi funksiya hosilasi bilan ko‘paytmasiga teng.
y=u bo‘lsa .
5. Kasrning hosilasi kasrga teng bo‘lib, uning maxraji berilgan kasr maxrajining kvadratidan, surati esa maxrajining surat hosilasi bilan va suratning maxraj hosilasi bilan ko‘paytmalari orasidagi ayirmadan iborat. Agar
bo‘lsa