1-mavzu. Differensial tenglamalar. Reja

15.1. Differensial tenglamaga keltiriladigan masala.

Tabiat va texnikada yuz berayotgan jarayonlarni kuzatishda bu jarayonlarni ifodalovchi miqdorlarning bir-biri bilan turlicha bog‘langanligini ko‘ramiz. Masalan, haroratli jismning vaqt o‘tishi bilan sovushi - Nyuton qonuniga binoan

tenglama bilan bog‘langan bo‘lib, shu tenglamadan topiladi. Bu tenglamada noma’lum funksiya bilan birga uning hosilasi ham qatnashgan.

Umuman, noma’lum funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga keladigan masalalar juda ko‘p. Quyida ulardan birini keltiramiz.

Hajmi 40 l. bo‘lgan idish tarkibida 80 % azot va 20 % kislorod bo‘lgan havo bilan to‘ldirilgan. Har bir sekundda idishga 0,2 l. azot yuborilib, so‘ng idishdagi aralashmadan shuncha miqdordagi aralashma chiqariladi. Qancha vaqtda idishdagi aralashmaning tarkibida 99 % azot bo‘ladi?

vaqtni erkli o‘zgaruvchi sifatida qabul qilamiz. Ravshanki, aralashmadagi azotning miqdori ga bog‘liq bo‘ladi.

Tajriba boshlanishidan sekund o‘tganda idishdagi azotning miqdorini deylik. Unda paytda aralashmadagi azot miqdori bo‘lib, vaqt oralig‘ida azot miqdori

ga o‘zgaradi.

Masalaning shartiga binoan vaqt ichida idishga azot yuboriladi va

azot chiqib ketadi. Ularning farqi esa

bo‘ladi. Har onda idishdagi aralashmaning tarkibida azot miqdori o‘zgarib turganligi sababli

bo‘ladi. Keyingi munosabatdan topamiz:

.

Agar nolga intila borsa, keyingi taqribiy tenglik qat’iy tenglikka aylana boradi. Binobarin,

tenglik hosil bo‘ladi. Ravshanki,

.

Natijada, ushbu

tenglamaga kelamiz.

Shunday qilib, yuqorida keltirilgan masalaning yechimini topish- noma’lum funksiya va uning hosilasi qatnashgan tenglamani yechishga keladi.

Bitta erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya ( ning funksiyasi) va uning turli tartibdagi hosilalari qatnashgan tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi. Masalan, ushbu

tenglamalar oddiy differensial tenglamalar bo‘ladi.

Bittа erkli o'zgаruvchi, nоmа'lum funksiya ( ning funksiyasi ) vа uning turli tаrtibdаgi hоsilаlаri qаtnаshgаn tеnglаmа оddiy diffеrеnsiаl tеnglаmа dеyilаdi. U umumiy ko'rinishdа quyidаgichа

(1)

ifоdаlаnаdi.

1. 
   tеnglаmаdа qаtnаshgаn nоmа'lum funksiya hоsilаsining yuqоri tаrtibi diffеrеnsiаl tеnglаmаning tаrtibi dеyilаdi.
   

Аgаr shundаy funksiya tоpilsаki, (1) tеnglаmаdаgi ning o'rnigа ning o'rnigа ning o'rnigа ning o'rnigа qo'yilgаndа tеnglаmа аyniyatgа аylаnsа,



funksiya (1) diffеrеnsiаl tеnglаmаning yеchimi dеyilаdi.