1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Runge - Kutta usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	0.1	1.110342	1.110342	0.000000
2	0.2	1.242806	1.242805	0.000000
3	0.3	1.399718	1.399717	0.000001
4	0.4	1.583649	1.583648	0.000001
5	0.5	1.797443	1.797441	0.000001
6	0.6	2.044238	2.044236	0.000002
7	0.7	2.327505	2.327503	0.000002
8	0.8	2.651082	2.651079	0.000003
9	0.9	3.019206	3.019203	0.000003
10	1.0	3.436564	3.436559	0.000004

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasini va yuqori tartibli oddiy differensial tenglama ni Runge - Kutta usulida yechish.

Birinchi tartib oddiy differetentsial tenglamalar sistemasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(1)
boshlangi shartlar
(2)
bu yerda o’zgarmas sonlardir.
(1) differensial tenglamaga qo’yilgan (2) – Koshi masalasini umumiy ko’rinishda
quyidagicha yozish mumkin.
(3)
bu yerda vektor o’zgaruvchidir.
Differensial tenglamalar sistemasini Runge – Kutta usulidagi ishchi formulasi quyidagicha yoziladi:
(4)
bu yerda ;


Yuqori tartibli differensial tenglamaberilgan bo’lsin. Masalan:
(5)
Belgilash yo’li bilan berilgan differensial tenglamani oddiy differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin,ya’ni:
(6)
Natijada yuqoridagi (4) formuladan foydalanib,(5) differensial tenglamaniechimini topish mumkin.
Masalan: quyidagi differensial tenglamani yechimini Runge – Kutta usulida topish ko’ramiz.
(7)
boshlang’ich shartni
(8)
oraliqdagi boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Yechish:
belgilash kiritib, ikki nomahlumli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

boshlang’ich shartlar:

Runge – Kuttaning ishchi formulasini yozamiz:



bu yerda




Masalaning yechish ketma – ketligi.
1. ma’lumotlardan foydalinib


2. mahlumotlardan foydalinib



3. mahlumotlardan foydalinib



4. mahlumotlardan foydalinib



5. ma’lumotlardan foydalinib



Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Runge - Kutta usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	1.1	1.210000	1.210000	0.000000
2	1.2	1.440000	1.440001	0.000001
3	1.3	1.690000	1.690001	0.000001
4	1.4	1.960000	1.960001	0.000001
5	1.5	2.250000	2.250001	0.000001

Darsda yechish uchun topshiriqlar
Differensial tenglamalarning yehimini oraliqni beshga bo’lib Eyler va Runge-Kutta usulida hisoblang

Т.R	Теnglama	1-boshlang’iсh shart	2-boshlang’iсh shart	Оraliq
1				[1.1 ;1.2]
2				[1.4 ; 2.4]
3				[0 ; 1]
4				[0 ; 1]
5				[0 ; 1.4]
6				[0 ; ]
7				[0 ; 1]
8				[0 ; ]

12-MAVZU:
Differensial tenglamalar sistemasi va uni yechish usullari.
MISOL: Koshi masalasini yeching.

Endi tenglamalardagi koeffitsientlar o’zgarmas sonlar bo’lganda sistemani yechish usuli bilan tanishamiz.
(1)
ko’rinishdagi yoki yozishga qulay
a_ij=const,
ko’rinishdagi sistema o’zgarmas koeffitsientli chiziqli sistema deyiladi.
Agar f(x)0 bo’lib,
(2)
ko’rinishida bo’lsa, bir jinsli sistema deyiladi.
O’zgarmas koeffitsientli tenglamalarni xususiy yechimini topish usulini esga olib, (2) sistemaning yechimini
(3)
ko’rinishda izlaymiz, bunda _k va - lar o’zgarmas sonlar.
Bu yerda shunga eotibor berish kerakki barcha y_k lar uchun bir xil.
(3)ni (2)ga qo’yamiz.
bo’lib
tenglikni olamiz ga qisqartirib,

tenglikni hosil qilamiz. So’nggi tenglik hadlarini bir tomonga o’tkazib, quyidagi ko’rinishda yozib olamiz.
(4)
bu yerda

(4) ifoda _k larga nisbatan sistema bo’lib, algebradan ma’lumki, sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun, uning determinanti nolga teng bo’lishi lozim. SHuning uchun (4) sistemaning determinantini nolga tenglaymiz.
= 0 (5)
(5) ni yoyib chiqsak, ga nisbatan p – tartibli tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama (1) sistemaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Uni ildizlari xarakteristik sonlar deyiladi.
determinant xarakteristik determinant deb ataladi.
p – tartibli xarakteristik tenglamani p ta ildizi bo’lib, ular ₁, ₂,…, _n sonlar bo’lsin.
1-hol: _i lar haqiqiy va xar xil. Unda barcha _i larni (4)ga qo’yamiz.
(6)
Bu sistemani i=1,2,.., n lar uchun alohida- alohida yechib, xar bir _i ga mos _i larni topamiz va (3)ga qo’yamiz. Natijada

xususiy yechimlar hosil bo’ladi. Ulardan esa

ko’rinishida umumiy yechimni hosil qilamiz.
Bu yechimlar chiziqli erkli bo’lib, fundamental yechimlar sistemasini hosil qiladi.
2-hol: _i - larni ichida komplekslari bo’lsa, u holda

echimni olamiz, hamda

deb olib, haqiqiy va mavxum qismlarini ajratamiz.

Bu yechimllar chiziqli erkli bo’lib, a-ib ko’rinishdagi ildizlar yangi yechimlarni tashkil etmaydi.
3-hol: _i - ildizlar haqiqiy va ichida karralisi bor.Unda k - karrali xarakteristik son uchun k ta chiziqli erkli yechimlar mos keladi.
SHu o’rinda ushbu teorema o’rinli
TEOREMA: Agar , k - karrali ildiz bo’lsa, u holda unga
(7)
ko’rinishdagi yechimlar mos keladi, bunda ‘₁(x),…,’_m(x) lar k- 1 – tartibli ko’phadlar.
Yechimni topishda (7)ni (2)ga qo’yib ‘_i(x) ko’phadni mos darajalari oldidagi koeffitsientlar tenglanib topiladi.
4-hol: Agar _i ildizlar ichida kompleks va k – karralisi bo’lsa, u holda yechim

ko’rinishida izlanadi, bunda ‘_k-1(x), R_k-1(x) lar k–1 – tartibli ko’phadlar.
Sistemalarni bu usulda yechish Eyler usuli deyiladi.
Agar tenglamalar sistemasi bir jinsli bo’lmasa, u holda oldingi mavzuda ko’rilgan o’zgarmasni variatsiyallash usulini qo’llash mumkin.
Darsda yechish uchun topshiriqlar.

1. 
   Sistemani yeching.
   

1. 2.
3. 4.
5. 6.

7. 
   sistemani Eyler usulida yeching.
   
8. 
   sistemani yeching.
   
9. 
   Bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalar sistemasini o’zgarmasni variasiyalash usulida yeсhing:
   

1. 2.
3. 4.
13-14-MAVZU:
Laplas almashtirishlari. Asl va tasvir. Asl va tasvirning asosiy xossalari.
1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.
Faraz qilaylik haqiqiy o’zgaruvchili f (t) funksiyaga chiziqli integral almashtirish vositasida biror kompleks o’zgaruvchili funksiya F(t) mos keltirilgan bo’lsin. Bu holda f(t) funksiyani F(t) funksiyaning originali yoki asl obrazi deyiladi. F(t) funksiyani esa f (t) ning tasviri , obrazi yoki kopiyasi deyiladi.
Ta’rif: Original deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy o’zgaruvchili t ning f (t) kompleks funksiyaga aytiladi.
1. Haqiqiy o’zgaruvchili t ning (t>0) funksiyasi bo’lgan f (t) uzluksiz va istalgan tartibli uzluksiz hosilalarga ega yoki uzilishga ega bo’lsa, uzilish nuqtalari chekli yoki uzilish
nuqtalari bo’lgan oraliqlari ham chekli bo’lishi kerak.
2. t<0 bo’lsa, f(t)º0 bo’ladi.
3. f (t) funksiyaning o’sishi, ko’rsatkichli funksiyaning o’sishidan tez bo’lmaydi, chunki t ga bog’liq bo’lmagan shunday musbat M >0, S_o >0 sonlar mavjudki, " katta t uchun çf(t)ê< bo’ladi.
Bu yerda S_o originalning o’sishi tartibini ko’rsatuvchi son. Agar S_o =0 bo’lsa, original o’zgarmas bo’ladi.
Original f(t) funksiya yuqoridagi 3 ta shartni qanoatlantirganda, kompleks o’zgaruvchi t=s+is ning funksiyasi bo’lgan dt itegralga original f(t) funksiyaning tasviri yoki Laplas almashtirishi yoki Laplas funksiyasi deyiladi va F(t) bilan belgilanadi
F(t)= dt (1)
Original tasvir ko’pincha quyidagicha belgilanadi: F(t) -¸® f(t) yoki f(t) ¬¸- F(t).