1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv



Download 1,38 Mb.
bet13/22
Sana26.09.2022
Hajmi1,38 Mb.
#850304
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22
Bog'liq
1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

9-MAVZU:
O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar. Xarakteristik ko’pxad.
Oldingi mavzuda yuqori tartibli tenglamani umumiy nazariyasi bilan tanishdik. Endi koeffitsientlari o’zgarmas sonlar bo’lganda ko’rib chiqamiz .
(1)
ko’rinishdagi tenglama o’zgarmas koeffitsientli n-chi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama deb ataladi.
Bu tenglamaning xususiy yechimi
(2)
ko’rinishida qidiriladi. =const
(1) ni (2)ga qo’yish uchun Hosila olamiz.

bularni tenglamaga qo’yib,

yoki

tenglikka kelamiz, bu yerdan 0 bo’lganligi uchun unga qisqartirib,
=0 (3)
ko’rinishda  ga nisbatan algebraik tenglamaga kelamiz. (3) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataladi.
Ma’lumki (3) tenglamani p – ta ildizi bor, ular haqiqiy, kompleks bo’lishi mumkin. Shuning uchun alohida ko’rib chiqamiz.
1-hol: (3) xarakteristik tenglama ildizlari haqiqiy va xar xil bo’lsin. Bu holda barcha ildizlarni (2)ga qo’yib,

ko’rinishdagi xususiy yechimlarni hosil qilamiz. Bundan
(4)
umumiy yechimini yozamiz.
MISOL: . Xarakteristik tenglamasi bo’lib
1=0, 2=1, 3=-1 ildizlarga ega (4) formulaga ko’ra umumiy yechim
y=
2-hol: (3)ni ildizlari haqiqiy va ichida karralisi bor.
Agar (3) ni i ildizi ki karrali bo’lsa (bunda ), u holda chiziqli erkli yechimlar soni n dan kam biz n-ta chiziqli erkli yechimlarini topamiz.
Faraz qilaylik ki – karrali ildiz Ai=0 – lar ki karrali bo’lsin. (3) tenglama
=0
ko’rinishiga ega bo’ladi.
Bu xarakteristik tenglamaga mos tenglama

ko’rinishda bo’lib, uni xususiy yechimlari
1,x, x2, … , ko’rinishda bo’ladi.
Agar i0 bo’lsa, u holda almashtirish bilan nol’ holga keltiriladi, i=0 ga nisbatan olingan tenglama ildizlari
1,x, x2, … , bo’lib

echimlar mos keladi. Unda umumiy yechim

ko’rinishida bo’ladi. Bunda m chiziqli erkli yechimlar soni.
MISOL: tenglamani yeching.
Xarakteristik tenglama: 2 +2 +1=0 yoki
( +1)2=0 1=-1, 2=-1
bu ildizga mos umumiy yechim
y=(c1+xc2)e-x
formula bilan ifodalanadi.
3-hol: (3)ni ildizlari teng emas, ammo ichida kompleks ildizlari bor.
Ildizlar kompleks bo’lsa, ular o’zaro qo’shma bo’ladi.
ularga
.
Xususan bo’lgan yechimlar mos keladi. Bu kompleks yechimlarni Eyler formulasidan foydalanib,

ko’rinishida yozish mumkin, ya’ni Bu yechimlar oraliqda chiziqli erklidir. Xuddi shunday yechimga
yechimlar mos keladi.
Bu yechimlar yangi yechimlar to’plamini hosil qilmaydi.
Demak, kompleks qo’shma yechimlarga ikkita haqiqiy yechim mos keladi.
Kompleks yechimlarni haqiqiy yechim bilan ifodalash uchun quyidagi teoremani keltiramiz.
TEOREMA: Agar koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan L[y]=0 tenglama y=u(x)+iv(x) yechimga ega bo’lsa , u holda shu yechimni haqiqiy qismi u(x) va mavxum qismi v(x) funksiyalar ham tenglamaning yechimi bo’ladi.
Shu teoremaga ko’ra
funksiyalar tenglamaning yechimlari bo’ladi.
MISOL: tenglama uchun (3) tenglama quyidagicha bo’ladi.
2 +4 +5=0
Buning yechimlari
1=-2+i, 2=-2-i, u holda umumiy yechim

ko’rinishga ega.
4-hol: (3) ning ildizlari kompleks va karrali bo’lsin.
Agar (3)ning ildizlari ko’rinishida bo’lsa, unga qo’shma ildizga ham ega. SHuning uchun ki karrali bo’lsa ildiz ham ki - karrali bo’ladi, ya’ni

ko’rinishidagi 2k ta haqiqiy yechim olishimiz mumkin.
Bu tenglamalar oraliqda chiziqli erkli, bunga Eyler formulasidan foydalanib, ko’rinishda yozib ishonch hosil qilish mumkin (2 – holga qarang).
Shunday qilib, ki karrali kompleks qo’shma yechimlarga 2k ta yechim mos keladi.
Umumiy yechimni, haqiqiy va kompleks yechimlarni har biri uchun yozib olib, jami n–ta chiziqli erkli yechimlardan hosil qilamiz.
MISOL:
tenglama xarakteristik tenglamasining ildizlari
4=i, 2=-i, 3=i, 4=-i
bo’lib umumiy yechim
y=(c1+c2x)cosx+(c3+c4x)sinx
ko’rinishida ifodalanadi.

Download 1,38 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   22




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish