1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Darsda yechish uchun misollar
1. Quyidа kеltirilgаn y(x,c) funksiyalаr (s – iхtiyoriy o`zgаrmаs sоn) mоs rаvishdа bеrilgаn diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr yеchimi bo`lishi yoki bo`lmаsligini tеkshiring.


2. Diffеrеnsiаl tеnglаmаning umumiy yеchimini tоping.
а) ; b) ;
v) ; g) ;
d) .
3. Kоshi mаsаlаsini yеching.
а) ;
b) ; v) ;
g) .
1-Mustaqil ish topshiriqlar
Differensial tenglamalarni yeching:

Koshi masalasini yeching:

2-MAVZU:
Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinadigan differensial tenglamalar. Amaliy masalalarga tadbiqi.
Hosila ga nisbatan yechilgan differensial tenglamalarda, agar
f(x,y)=f₁(x)d₁(y)
ko’rinishdagi funksiya bo’lsa, u holda tenglama
(1)
ko’rinishga ega bo’ladi. Bunda f₁(x) biror J₁ intervalda d₁(y) esa J₂ intervalda aniqlangan funksiyalardir.
(1) ko’rinishdagi differensial tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.
MISOL: Tenglamani yeching: bo’lib y0 ydy= - xdx
ko’rinishda o’zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz, u holda yoki ko’rinishdagi umumiy integralga ega bo’lamiz.

MISOL: Tenglamani yeching.

Avvalo bu tenglama bir jinsli ekanligini ko’rsatamiz. Buni x=xt , y=yt deb olamiz

bundan kelib chiqadiki,

bo’lib m=2 bo’ladi. U holda berilgan tenglama uchun y=zx almashtirish qilish mumkin.

Bundan dy=zdx+xdz bo’lib, tenglamaga qo’yilsa

a)
integrallab, topamiz:
yoki
yoki x(y-1)=yc.
b) bo’lsa, u holda


bo’lib , z=0, z=1 undan yuqoridagi almashtirishga ko’ra
ifodalarga ega bo’lamiz.
Demak umumiy integral .
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
(2)
ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s₁ va s₂ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:
bo’lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x₀, u=u₀ yechimni topamiz va
(3)
almashtirish bajaramiz. (3) almashtirishni (2) tenglamaga qo’ysak


,
ko’rinishga keladi.
Bundan (6) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

bo’lsa, u holda
tenglikka ega bo’lamiz.
Bundan esa
bo’ladi. (8) tenglamaga qo’ysak
( 4)
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(4) tenglamada z=a₂x+b₂y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni ajraladigan tenglamaga hosil bo’ladi.