1-маvzu differensial tenglama. Asosiy tushunchalar va taʼriflar. Differensial tenglamaga tushunchasiga olib keluvchi ayrim masalalar. Yoʻnalishlar maydoni. Izoklinlar usuli. Yoʻnalishlar maydoni asosida integral egri chiziqlarni chizish

Taʼrif 4. Differensial tenglamani yechish jarayoniga integrallash deyiladi.

Taʼrif 5. oraliqda n-tartibli hosilalari mavjud va differensial tenglamani ayniyatga aylantiruvchi ixtiyoriy y(x) funksiyaga n-tartibli differensial tenglama yechimi yoki integrali deyiladi.

Taʼrif 6. Agar nomaʼlum funksiya y(x) ni kvadraturaga olib kelingan boʻlsa, yaʼni

koʻrinishiga keltirilgan boʻlsa, integralni maʼlum funksiyalar bilan ifodalash mumkin, mumkin emasligidan qatʼiy nazar differensial tenglama yechilgan yoki differensial tenglamani integrallash hal qilindi deyiladi.

II. Differensial tenglamaga tushunchasiga olib keluvchi ayrim masalalar.

Hayotda va amaliyotda differensial tenglamalar juda keng qoʻllaniladi.

Masalan modiiy nuqta harakatini koʻraylik. U biror bir t vaqt mobaynida S masofani bosib oʻtadi va u t vaqtning funksiyasidir. Bunday funksiyalarni mexanikada harakat qonuni deyiladi. Masalan: s(t)=2t boʻlsa, t=4 sek. boʻlganda s(4)=2*4=8metr. Moddiy nuqta boshlangʻich nuqtadan qancha masofa oʻtganligini koʻrsatadi. Moddiy nuqta tezligini aniqlamoqchi boʻlsakchi? Buning uchun oʻtilgan yoʻlni vaqtga boʻlish lozim.

Agar S(t) harakat qonuniga ega boʻlsak, t vaqt momenti va vaqt oraligʻi boʻlsa, u holda ushbu vaqt oraligʻida tezlik

ga teng boʻladi. Bu esa vaqt oraligʻidagi oʻrtacha tezlikni beradi. Spidometrda esa konkret vaqt momentidagi tezlikni koʻrsatadi. Bu tezlikni topish uchun tushunarliki ushbu vaqt momentini kamaytirish lozim. Xuddi shu ishni qachonlardir aqlli odamlar qilishgan va hosil boʻlgan narsaga hosila deyishgan:

Xuddi shu prinsipni xoxlagan funksiya bilan qurish mumkin. Hosilani – konkret nuqtada funksiyaning oʻzgarish tezligi deyish mumkin. Tezlanish – bu tezlikni oʻzgarish tezligi hisoblanadi. Bundan esa harakatlanish qonuni aslini olganda 2-tartbli differensial tenglama ekanligini anglatadi:

Aytaylik parashyutchi samolyotdan sakradi. Uning massasi m ga teng boʻlsin. Uni ogʻirlik kuchi pastga tortadi. F=mg, tepaga esa unga havoning qarshiligi taʼsir qiladi. Havoning qarshilik kuchi parashyutchi tezligi v ni kvadratiga proporsional:

, k – koeffitsiyent, yoʻnalish teskari boʻlgani uchunteskari ishora bilan olinadi.

Nyutonning 2-qonuniga koʻra jismning massasi m va uning tezlanishi a ni koʻpaytmasi, unga taʼsir qilayotgan kuchlar yigʻindisiga teng boʻladi. Aytaylik h(t) – t vaqtdagi parashyutchining balandligi boʻlsa, tezlik – koordinata hosilasiga, tezlanish esa – tezlikning hosilasi yaʼni koordinataning 2-tartibli hosilasiga tengligini eslasak , u holda Nyutonning 2-qonuni

Demak har bir inson maktab davridan 1-marta peshanasi uriladigan differensial tenglama – bu Nyutonning 2-qonuni.

III. Yoʻnalishlar maydoni. Izoklinlar usuli. Yoʻnalishlar maydoni asosida integral egri chiziqlarni chizish.

Quyidagicha koʻrinishdagi differensial tenglamaga

(*)