1-mavzu: algoritmlar reja: Algoritmlarning xossalari. Algoritmlarning turlari. Tayanch so‘z va iboralar

Tayanch so‘z va iboralar:Differensial tenglama, Eyler, Runge-Kutta, taqribiy yechim, algoritm, dastur.
Oddiy differensial tenglamalar fan texnikaning turli tarmoqlarida jarayon va hodisalarni matematik modellashtirish maqsadlarida keng ishlatiladi. Radiotexnik zanjirlardagi o‘tish jarayonlari, ximik reaktsiyalar kinematikasi, biologik ko‘payishining dinamikasi, kosmik ob’yektlarning harakati, iqtisodiy o‘sish modellari va boshqalar oddiy differensial tenglamalar yordamida o‘rganiladi.
Quyidagi
(1)
darajali differensial tenglamada nomalum had sifatida funksiya va uning argumenti bo‘yicha boshlang‘ich -hosilasi hisoblanadi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki (1) tenglama quyida ko‘rsatilgan 1 darajali ta tenglamalar sistemasiga ekvivalentdir.
(2)
bu yerda
Oddiy differensial tenglamalarni yechish usullari, ko‘p hollarda, Koshi masalasiga asoslanadi. Koshi masalasi, ko‘pincha boshlang‘ich shartlari berilgan masalalar deb ham nomlanadi.
Differensial tenglamalarni yuqori bo‘limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo‘ladi. Amaliyotda uchraydigan ko‘plab masalalarga aniq yechish usullarini qo‘lashning iloji bo‘lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to‘g’ri keladi.
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko‘rinishida olinadi.
Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to‘plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko‘rinishida ifodalanadi.
Eyler usuli
Differensial tenglamalarni yechishning eng qulay usullaridan biri Eyler usuli hisoblanadi. Eyler usulining mohiyati quyidagidan iborat. Bu usulda izlanayotgan yechimning chiziqli ekstrapolyatsiyasi birinchi darajali ko‘phad bilan almashtiriladi. Birinchi tartibli differensial tenglama
(3)
va uning boshlang‘ich sharti
(4)
berilgan bo‘lsin. Bu yerda o‘zgaruvchi oraliqda o‘zgarsin. oraliqni nuqtalar yordamida teng uzunlikdagi kesmalarga bo‘lib chiqamiz. Kesmalarning uzunliklari bo‘lsin, ya’ni
.
Demak, .
Agar (3) differensial tenglamaning yechimini ko‘rinishiga ega deb hisoblasak, bu yechimning nuqtalarga mos qiymati quyidagicha bo‘ladi.

Quyidagi belgilashlar kiritamiz:
, , , . . ., .
(3)da ` ni chekli ayirmalar nisbati bilan almashtiramiz:
yoki (5)
Endi (5) ni nuqtalardagi qiymatlar bo‘yicha ketma-ket yozib chiqamiz. bo‘lganda: yoki .
Bu yerda va lar ma’lum bo‘lgani uchun ning qiymatini quyidagi formula orqali hisoblab topish mumkin:
da yoki bundan bo‘ladi.
Shunigdek
(6)
Demak, nuqtalarda (3) differensial tenglamalarning taqribiy yechimi topiladi.
Bundan kelib chiqadiki ko‘rinishidagi formulaga Eyler formulasi deyiladi.
1-Misol. Ushbu differensial tenglama boshlang‘ich shart bilan berilsin. Tenglamani [0;1] oraliqda taqribiy yechimi h=0,1 qadam bilan topilsin.
Yechish.
Shartga asosan , , nuqtalar sonini topamiz.

Endi Eyler formulasiga asosan nuqtalar uchun y₀,y₁,…,y₁₀ larni qiymatini hisoblaymiz.

qolganlari shu tartibda topiladi.