1-mavzu 1-ma’ruza

Zarur va etarli shartlar
birorta mulohaza bo‘lsin. mulohaza kelib chiqadigan har qanday mulohazaga mulohaza uchun etarli shart deyiladi. mulohazadan kelib chiqadigan har qanday mulohazaga mulohaza uchun zarur shart deyiladi.
Masalan, « soni nolga teng» va « ko‘paytma nolga teng» mulahazalari bo‘lsin. Bunda mulohaza mulohaza uchun etarli shart bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ko‘paytma nolga teng bo‘lishi uchun nolga teng bo‘lishi yetarli. nolga teng bo‘lishi uchun ko‘paytma nolga teng bo‘lishi zarur. Ammo,
mulohaza mulohaza uchun etarli shart bo‘lmaydi, chunki ko‘paytma nolga teng bo‘lishidan sonining albatta nolga teng bo‘lishi kelib chiqmaydi.
«Agar mulohaza rost bo‘lsa, u holda mulohaza rost bo‘ladi» teoremani ko‘rinishda yoish va quyidagi ifodalardan biri bilan berish mumkin: « mulohaza mulohaza uchun etarli shart bo‘ladi»; « mulohaza mulohaza uchun zarur shart bo‘ladi».
Agar va mulohazalarning har biridan ikkinchisi kelib chiqsa, ya’ni bo‘lsa, u holda va mulohazalarning har biri ikkinchisi uchun zarur va etarli shart bo‘ladi va deb yoziladi.
Bu yozuvning boshqa ifodalari quyidagicha bo‘ladi:
1) o‘rinli bo‘lishi uchun o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli;
2) faqat va faqat bajarilsa o‘rinli bo‘ladi;
3) faqat va faqat post bo‘lganida rost bo‘ladi.
Matematik induksiya metodi
Matematik induksiya metodi muhim matematik isbotlash usullaridan biri hisoblanadi. Bu usul natural songa bog‘liq tasdiqlarni isbotlash uchun qo‘llaniladi.
Uni umumiy holda ifodalymiz: natural songa bog‘liq biror tasdiqni (masalan, formulani) isbotlash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
1) tasdiqning to‘g‘riligi da tekshiriladi (agar da tasdiq ma’noga ega bo‘lmasa, tekshirish tasdiq ma’noga ega bo‘ladigan eng kichik dan boshlanadi);
2) tasdiq biror da to‘g‘ri deb faraz qilinadi va uning da to‘g‘ri bo‘lishi isbotlanadi. Keyin bu tasdiqning istalgan natural son bajarilishi haqida
xulosa chiqariladi.
Matematik induksiya metodi bilan Nuyton binomi formulasi deb ataluvchi
(3.1.1)
formulani isbotlaymiz, bu yerda natural son; .
(3.1.1) formulada qatnashayotgan

koeffitsiyentlarga binominal koeffitsiyentlar (yoki ta elementdan tadan guruhlashlar soni) deyiladi, bu yerda (en foktorial) belgi orqali birinchi ta natural son ko‘paytmasi belgilanadi. Binominal koeffitsiyentlar va faktorial uchun quyidagi bog‘lanishlar o‘rinli bo‘ladi:

(bunda deb olinadi).
(3.1.1) formulani isbotlaymiz. Buning uchun: 1) formula to‘g‘ri bo‘lishini da tekshiramiz:

2) (3.1.1) formula biror da to‘g‘ri bo‘ladi deb faraz qilamiz va da shu kabi formula o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz, ya’ni
(3.1.2)
formulani isbotlaymiz.
Haqiqatdan ham

Binominal koeffitsiyentlar uchun

bo‘lishi inobatga olinsa oxirgi tenglikdan (3.1.2) tenglik kelib chiqadi.
Demak, matematik induksiya metodining 1) va 2) bandlri bajarilgani uchun Nuyton binomi formulasi istalgan natural soni uchun to‘g‘ri bo‘ladi.
(3.1.1) formula qisqacha

ko‘rinishda yoziladi.
Xususan, (3.1.1) formuladan va da tanish qisqa ko‘paytirish formulalari kelib chiqadi: