1-mavzu 1-ma’ruza

3.2.5. soni
ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlik uchun (14.1) Nuyton binomi formulasini da qo‘llaymiz:

yoki
(3.2.1)
(3.2.1) tenglikdan ko‘rinadiki, ning o‘sishi bilan uning o‘ng tomonida musbat qo‘shiluvchilar soni ortib boradi. Bundan tashqari ning o‘sishi bilan kamayadi va kattaliklar ortadi. Shu sababli ketma-ketlik monoton o‘suvchi bo‘1adi.
(3.2.1) tenglikka ko‘ra
(3.2.2)
(3.2.1) tenglikda qavs ichidagi har bir ifoda birdan kichik va shu bilan birga da bo‘ladi. Bundan
(3.2.3)
kelib chiqadi.
Demak, (3.2.2) va (3.2.3) tengsizliklarga ko‘ra , ya’ni chgaralangan.
Shunday qilib, ketma-ketlik monoton o‘suvchi va chegaralangan.
U holda Veershtrass teoremagasiga ko‘ra u yaqinlashadi, ya’ni chekli limitga ega bo‘ladi. Bu limitni harfi bilan belgilaymiz.
Demak,
(3.2.4)
soniga Neper soni deyiladi. soni irrarsional son. soni matematikaning bir qancha masalalarida muhim rol o‘ynaydi. soni, masalan, natural logarifmlarning asosi bo‘ladi: sonining natural logarifmi bilan belgilanadi. Bu paragrafda soniga faqat ta’rif berildi va u tengsizlikni qanoatlantirishi ko‘rsatildi. Keyinchlik sonining qiymatini istalgan aniqlikda topish usullari ko‘rsatiladi.
Izoh. (3.24) formula umuman olganda da cheksizlikka intiluvchi funksiyalar uchun o‘rinli bo‘ladi, ya’ni
bu yerda da . (3.2.5)
Misol
limitni topamiz:
.
deb olsak, da Shu sababli ichki qavs uchun (3.2.5) va o‘tish formulalarini hamda tashqi qavs uchun yaqinlashuvchi ketma- ketlikning xossasini qo‘llab, topamiz: