1-mavzu 1-ma’ruza

2-teorema (Veershtrass teoremasi). Har qanday monoton chegaralangan ketma-ketlik limitiga ega bo‘ladi.
Isboti. Monoton kamaymaydigan ketma-ketlikni qaraymiz.
va shunday soni topilsinki, ketma-
ketlikning barcha hadlari dan katta bo‘lmasin, ya’ni bo‘lsin. Elementlari
bu ketma-ketlikning hadlaridan tashkil topgan to‘plamni olamiz.
Shartga ko‘ra bu to‘plam bo‘shmas va yuqoridan chegaralangan. U holda 14-§ dagi 1-teoremaga asosan to‘plam aniq yuqori chegaraga ega bo‘ladi. Bu chegarani bilan belgilaymiz va soni berilgan ketma-ketlikning limiti bo‘lishini ko‘rsatamiz.
soni ketma-ketlik elementlarining aniq yuqori chegarasi bo‘lgani uchun uning xossasiga ko‘ra son uchun shunday nomer topiladiki, da bo‘ladi. Ikkinchidan aniq yuqori chegaraning ta’rifiga asosan barcha lar uchun bo‘ladi. Shunday qilib, uchun tengsizlik hosil qilindi. Bundan tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik soni ketma-ketlikning limiti bo‘lishini bildiradi.
Monoton o‘smaydigan ketma-ketlik uchun teorema shu kabi isbotlanadi.
Izoh. Monoton ketma-ketlikning chegaralanganligi uning yaqinlashuvchi
bo‘lishining zarur va yetarli shartini beradi.
Haqiqatdan ham, agar monoton ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, u holda 2-teoremaga ko‘ra u yaqinlashadi; agar monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, yaqinlashuvchi ketma-ketlikning 2-xossasiga asosan u chegaralangan bo‘ladi.
2- teoremadan ichma-ich qo‘yilgan kesmalar haqidagi lemma kelib chiqadi.
… kesmalar ketma-ketligi berilgan bo‘lib, bunda har bir keyingi kesma o‘zidan oldingi kesmning ichiga joylashgan:
… , ya’ni barcha lar uchun bo‘lsin va
bo‘lsin. Bu kesmalarga ichma-ich qo‘yilgan kesmalar deyiladi.
Lemma (Kantor lemmasi). Ixtiyoriy ichma-ich qo‘yilgan kesmalar ketma-ketligi uchun bu ketma-ketlikning har biriga tegishli bo‘lgan nuqta mavjud va yagona bo‘ladi.
Bu lemma haqiqiy sonlar to‘plamining uzluksizligi yoki son o‘qining to‘laligi haqidagi muhim xossani ifodalaydi.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari va limitlar haqidagi teoremalar nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim ahamiyatga ega. Ulardan, masalan, ketma-ketliklarning limitini hisoblashda keng foydalaniladi.
Izoh. Limitlarni hisoblashda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan keltirib chiqarilgan quyidagi o‘tish formulalari qo‘llaniladi:




Misollar
1. limitni topamiz. Bu kasrning surati va maxrajidagi ketma-ketliklar limitga ega emas, chunki ular chegaralanmagan. U holda bo‘linmaning limiti haqidagi 5-xossani qo‘llab bo‘lmaydi. Bu xossani qo‘llash uchun avval ketma-ketlikning surat va maxrajini ga bo‘lamiz va keyin yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalarini qo‘llaymiz:

Keyingi limitlarni topishda avval ketma-ketlikning xossalarini qo‘llashga olib
keluvchi almashtirishlar bajaramiz, so‘ngra xossalarni qo‘llaymiz:


3.



ketma-ketlik cheksiz katta. Shu sababli ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘ladi. Bundan
.
Demak,
4.