1. Matritsali o‘yinlar Matritsali o‘yinni chiziqli dasturlash masalasiga keltirish Matritsali o‘yinlar

2. Matritsali o‘yinni chiziqli dasturlash masalasiga keltirish

Matritsali o‘yinni chiziqli dasturlash masalasiga keltirish jarayonini ko‘rib chiqamiz. Eng avval o‘ynovchinig optimal aralash strategiyasi va o‘yining bahosini topamiz. Uning uchun (7.7) tengsizliklar tizimini va (7.4) shartlarini umumlashtirib, quydagi ko‘rinishda yozamiz:

(7.9)

(7.10)

(7.11

O‘yining bahosi ni musabat deb hisoblab, ( ) (7.9) tizimning hamma

tengsizliklarini ga bo‘lib quydagi tizim hosil qilamiz:

(7.12)

(7.13)

bu yerda (7.14)

Birinchi o‘ynovchi o‘z yutig`ini, ya'ni o‘yinning bahosini maksimum qilishga harakat qiladi. Demak, birinchi o‘ynovchi uchun

eng kichik (minimum) qiymat qabul qilish kerak. Ushbu talablarda (7.12) - (7.14) tizim quyidagi chiziqli dasturlash masalasiga aylanadi:

(7.15)

(7.16)

(7.17)

Xuddi shunday yo‘l bilan ikkinchi o‘ynovchining optimal aralash strate-giyasi va o‘yinning bahosini topish uchun quyidagi chiziqli dasturlash masalasini yechish kerak.

(7.18)

(7.19)

(7.20)

(7.15)-(7.17) va (7.18-7.20) masalalar o‘zaro ikkilangan chiziqli dasturlash masalalaridan iborat bo‘ladi. Ulardan ixtiyoriy birini yechib, ikkalasining yechimini osonlikcha topish mumkin.

2 misol

matritsali o‘yinni aralash strategiyalardagi yechimini toping.

Echish. Birinchi o‘ynovchi uchun o‘yinni chiziqli dasturlash masalasiga aylantiramiz. Buning uchun eng avval quyidagi tizimni hosil qilamiz.

(7.21)

(7.22)

(7.23)

(7.21) tizimdagi har bir tengsizlikning ikki tomonini ( ) ga bo‘lib va belgilash kiritib quydagi tizimni hosil qilamiz:

(7.24)

(7.25)

(7.26)

Bu tizimni quyidagi chiziqli dasturlash masalasi ko‘rinishida yozish mumkin:

(7.30)

(7.31)

(7.32)

Ikkinchi o‘yinchi uchun berilgan matritsali o‘yin quydagi chiziqli dasturlash masalasiga aylanadi.

(7.30)

(7.31)

(7.32)

(7.27)-(7.29) va (7.30)-(7.32) masalalar o‘zaro ikkilangan masalalaridir. Shuning uchun ulardan ixtiyoriy birini yechib, ikkinchisining yechimini osonlikcha topish mumkin.