1. matritsalar ustida amallar

Mustaqil yechish uchun misollar:

3.1. a) , det, A₃₂ ni toping.
b) da A₄₁ ni toping.
Determinantlarni qulay usulda hisoblang:

3.2. 3.3.

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI KRAMER

USULI BILAN YECHISH

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer formulasi determinantlardan foydalanib sistema yechimini topishdir.

Sistema yechimi Kramer formulalari deb atalgan quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:

Bu yerda Δ noma’lumlar oldidagi koeffitsiyentlardan tuzilgan kvadrat matritsa determinanti, Δ₁, Δ₂, Δ₃, …, Δ_n lar asosiy matritsada mos ravishda 1, 2, 3, …, n-ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar. Shuni ta’kidlash kerakki, sistemada noma’lumlar va tenglamalar soni teng bo’lgan hollarda Kramer formulasini qo’llash maqsadga muvofiq.

Agar Δ≠0 bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi.

Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁, Δ₂, Δ₃ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsa sistema yechimga ega emas.

Agar Δ=0 bo’lib, Δ₁=Δ₂=Δ₃=…= Δ_n=0 bo’lsa, sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Formulani 3 noma’lumli 3 ta chiziqli tenglamalar sistemasi misolida keltiramiz:

(1)

sistema uchun

, ,

,

Buni misollarda ko’ramiz: 6.1-misol.

a) sistemani Kramer formulasi bilan yeching.

= -4+8+9-8-3+12=14

Δ≠0 bo’lgani uchun sistema aniq yagona yechim Kramer formulalari yordamida topiladi.

= -32+8+30-8+40-24=14

= -20+32+12-40-4+48=28

= 8+80+72-64-24-30=42

b) sistemani Kramer formulasi yordamida yeching.

=256+6-18-216-32+4=266-266=0

Δ=0 Kramer teoremasiga ko’ra, sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁ ni hisoblaymiz:

= -128+24-128-2= -234≠0

Δ=0, Δ₁≠0 bo’lgani uchun Kramer teoremasiga ko’ra sistema aniqlanmagan.

c) Kramer formulasiga ko’ra yeching.

= 20-3-12+5+8-18=33-33=0

Δ=0, demak sistema yoki aniqmas, yoki birgalikdamas. Δ₁, Δ₂, Δ₃ larni hisoblaymiz:

= -70+15-3+5-10+63=83-83=0

= -20-21-4-5+56-6=56-56=0

= -10-5+84-35-4-30=84-84=0

Δ=0, Δ₁=Δ₂=Δ₃=0 bo’lgani uchun sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega.

Sistemani Gauss algoritmi bilan yechamiz:

berilgan tenglama sistemaga teng kuchli.

Bu tenglamani Kramer formulasi bilan yechish mumkin.

= -10-4= -14

=5(x₃+7)-3x₃+5=5x₃+35-3x₃+5=2x₃+40=2(x₃+20)

= -2(3x₃-5)-4(x₃+7) = -6x ₃+10-4x₃-28 =

= -10x₃-18 = -2(5x₃+9)

Sistema yechimi bo’ladi.