1-масала. Мадина олма, нок ва мандаринни емоқчи. Буни у неча усул билан бажариши мумкин?

1-масала. Мадина олма, нок ва мандаринни емоқчи. Буни у неча
усул билан бажариши мумкин?
 Меваларни ҳарфлар билан белгилаймиз: О−олма, Н−нок, М−мандарин.
Бу ҳолда, масалан, НМО−бу дастлаб нок, сўнг мандарин ва охирида олма
ейилишига мос вариант.
Вариантларни ёзиб чиқамиз: МНО, МОН, НМО, НОМ, ОМН, ОНМ.
Жами 6 та усул ҳосил бўлди. ▲
2-масала. Рақамлари йиғиндиси 4 дан кичик бўлган тўрт хонали сонлар
нечта?
 Рақамлари йиғиндиси 1, 2 ва 3 бўлган тўрт хонали сонларни ўсиш
тартибида ёзамиз: 1000; 1001; 1002; 1010; 1011; 1020; 1100; 1101; 1110;
1200; 2000; 2001; 2010; 2100; 3000. Жами 15 та сон ҳосил бўлди. ▲
4-масала. Мактабда бешта 11-синф мавжуд. Шу синфлардан икки нафар
навбатчини танлашимиз керак, бунда ҳар қандай жуфтликда турли синф
ўқувчилари бўлиши керак. Буни неча усулда амалга оширса бўлади?
 Синфларни 1, 2, 3, 4, 5 рақамлар билан белгилаймиз ва вариантларни ёзиб
чиқамиз: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5).
Жавоб. Жами 10 та усул. ▲
Қўшиш ва кўпайтириш қоидалари
Қўшиш ва кўпайтириш қоидалари комбинаторика масалаларини
ечишда энг кўп қўлланиладиган ва самарали усуллар ҳисобланади.
5-масала. Саватда 5 та олма ва 3 та нок бор. Саватдан 1 та мева
танлашни неча усулда амалга ошириш мумкин?
 Олмани 5 та усулда, нокни эса 3 та усулда танлаш мумкин.
Демак, саватдан мевани танлаш 5+ 3=8 усулда амалга оширилиши
мумкин. ▲
6-масала. а) Тоққа 7 та йўл олиб боради. Сайёҳ тоққа чиқиб, сўнг
пастга тушмоқчи. Бу ишни неча усулда амалга ошириш мумкин?
б) Агар юқорига чиқиш ва пастга тушиш ҳар хил йўллар билан амалга
оширилса, жавоб қандай ўзгаради?
 а) Сайёҳ тоққа 7 усулда чиқиши мумкин, ҳар бир чиқишда 7 та
усулда пастга тушиши мумкин. Жами 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7+ 7=7⋅7=49 та усул.
б) Сайёҳ тоққа 7 усулда чиқиши мумкин, ҳар бир чиқишда 6 усулда
пастга тушиши мумкин. Жами 7⋅6=42 та усул. ▲
7-масала. Дўконда 5 та турли пиёла, 3 та турли ликопча ва 4 та турли
чой қошиғи бор.
а) Пиёла ва ликопча жуфтлиги неча усулда харид қилиниши мумкин?
б) Пиёла, ликопча ва чой қошиғи учлиги неча усулда харид қилиниши
мумкин?
c) Турли номдаги иккита идишнинг жуфтлиги неча усулда харид қилиниши
мумкин?
 а) Дастлаб пиёлани танлаймиз. Унга жуфт қилиб учта ликопчадан
ихтиёрийсини олишимиз мумкин. Жами бешта пиёла бўлгани сабабли турли
жуфтликлар сони 15 (15 = 5⋅3) га тенг.
б) Олдинги масаладаги 15 жуфтликлардан ихтиёрийсини танлаймиз. Уни чой
қошиғи билан «учлик» кача 4 та усулда тўлдириш мумкин. Шунинг учун
барча учликлар сони 60 (60 =15⋅4 =5⋅3⋅4) га тенг.
c) Учта ҳолат бўлиши мумкин: биринчиси пиёла ва ликопча жуфтлиги
29
сотиб олинади, иккинчиси – пиёла ва қошиқ, учинчиси– ликопча ва қошиқ.
Ҳар бир ҳолат учун жуфтликлар сони осон топилади (биринчисида – 15 та,
иккинчисида – 20 та, учинчисида – 12 та). Ҳаммасини қўшиб чиқсак,
барча вариантлар сонини топамиз: 47 та. ▲
8-масала. Барча рақамлари жуфт бўлган беш хонали сонлар нечта?
 Беш хонали соннинг рақамлари учун 5 та ўринни белгилаймиз.
Биринчи ўринга 4 та рақам қўйса бўлади: 2, 4, 6 ёки 8. Иккинчи ўринга
бешта рақам қўйса бўлади: 0, 2, 4, 6 ёки 8. Учинчи, тўртинчи ва
бешинчи ўринларга ҳам шу бешта рақамни қўйса бўлади: 0, 2, 4, 6 ёки
8. Демак, жами ўринларни тўлдиришнинг 4⋅5⋅5⋅5⋅5=2500 усули мавжуд.
Барча рақамлари жуфт бўлган беш хонали сонлар ҳам 2500 та. ▲
Бу масалаларни ҳал қилишда қуйидаги қоидалардан фойдаландик.
Қўшиш қоидаси. Агар А объект м та усул билан, Б объект эса бошқа
н та усул билан танланиши мумкин бўлса, у ҳолда (А ёки Б) м + н та усул
билан танланиши мумкин.
Кўпайтириш қоидаси. Агар А объект м та усул билан танланса ва
шундай танлашдан сўнг Б объект н та усул билан танланиши мумкин
бўлса, у ҳолда (А ва Б) мн та усул билан танланиши мумкин.
Такрорли ва такрорсиз ўринлаштиришлар
9-масала. Хонада бешта чироқ бор. Уларнинг ҳар бири ё ёниши, ё
ёнмаслиги мумкин. Хонани нечта усулда ёритиш мумкин?
 Ҳар бир чироқ учун иккита вариант мавжуд – ё ёниш, ё
ёнмаслик. Жами бўлиб 2⋅2⋅2⋅2⋅2=25=32 та усул. ▲
Юқоридаги масалани умумлаштирамиз: н та элементдан ташкил топган
тўпламнинг барча қисм тўпламлари сонини топайлик.
Тўпламнинг н элементларидан ҳар бири учун иккита имконият бор−у ё
қисм тўпламга тегишли, ё тегишли эмас. Олдинги масалага ўхшаб 2н та
вариант ҳосил бўлади.
10-масала. 3 та товуқ, 4 та ўрдак ва 2 та ғоз бор. Бир нечта қуш
танланмоқда, бунда танланган қушлар ичида ҳам товуқ, ҳам ўрдак, ҳам
ғоз бўлиши шарт. Бундай вариантлар сони нечта?
 Ихтиёрий товуқ танланганлар ичида ё бор, ё йўқ. Шунинг учун
товуқни 23 та усул билан танлаб олишимиз мумкин. Шартга кўра товуқ
албатта бўлиши учун 23 − 1=7 та имконият бор. Худди шундай, ўрдакни
24 −1=15 та, ғозни эса 22 − 1=3 та усулда танласа бўлади.
Жами 7⋅15⋅3=315 та усул. ▲
11-масала. Футбол жамоасида 11 нафар ўйинчи бор.
а) Жамоа сардори ва унинг ёрдамчиси; б) жамоа сардори, унинг биринчи
ёрдамчиси, унинг иккинчи ёрдамчиси неча усулда тайинланиши
мумкин?
 а) Сардор этиб жамоанинг 11 нафар ўйинчисидан ихтиёрийсини тайинлаш
мумкин. Сардорнинг ёрдамчиси этиб қолган 10 нафар ўйинчидан
ихтиёрийсини тайинлаш мумкин. Шунинг учун жамоа сардори ва унинг
ёрдамчиси 11⋅10=110 усулда тайинланиши мумкин.
б) Жамоа сардори ва унинг биринчи ёрдамчисини 11⋅10=110 усулда
тайинладик. Иккинчи ёрдамчи этиб қолган 9 нафар ўйинчидан ихтиёрийсини
тайинлаш мумкин. Шунинг учун жамоа сардори, унинг биринчи
ёрдамчиси, унинг иккинчи ёрдамчиси 11⋅10⋅9=990 усулда тайинланиши
мумкин. ▲
Бу масалада биз 11 элементли тўпламда тартибланган жуфтликлар ва
тартибланган учликлар сонини топдик. Энди бу масалани умумий ҳолда
ечайлик.
Таъриф. н та элементли { , , ,..., } 1 2 3 н а а а а тўплам берилган бўлсин. Шу
тўпламнинг ихтиёрий к та турли элементидан ҳосил қилинган тартибланган
1 2 ( , ,..., ) и и ик а а а кетма-кетлик н та элементдан к тадан такрорсиз
ўринлаштириш деб аталади.
Бундай ўринлаштиришлар сони к
н А деб белгиланади. Бу сонни топиш учун
худди олдинги масаладагидек иш тутамиз.
Биринчи элементни танлаш учун н та усул, иккинчи элементни танлаш
учун н−1 та усул, учинчи элементни танлаш учун (н−2) та усул ва
ҳ.к., охирги, к- элементни танлаш учун (н−к+ 1) та усул мавжуд. Демак,
к ( 1) ... ( 1)
н А
= н ⋅ н − ⋅ ⋅ н − к + .
12-масала. Барча рақамлари турлича бўлган етти рақамли телефон
номерлари нечта?
 Биринчи рақамни танлаш учун 10 та усул (0 ҳам киради деб фараз
қиламиз), иккинчи рақамни танлаш учун 9 та усул, учинчи рақамни
танлаш учун 8 та усул ва ҳ.к., охирги рақамни танлаш учун 4 та усул
мавжуд. Демак, 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 та телефон номер. ▲
13-мисол. А алифбо н та белгидан ташкил топган бўлсин. Узунлиги к га
тенг бўлган ҳамда турли белгилардан ташкил топган сўзлар (яъни узунлиги к
га тенг бўлган кетма-кетликлар) сони к ( 1)( 2)....( 1)
н А
= н н − н − н − к + бўлади.
Бу натижа юқоридаги мулоҳазалардан келиб чиқади.
Изоҳ. Агарда ҳар бир сўзни ташкил этган белгилар орасида
31
такрорланадиганлари бор бўлса, бундай сўзлар сони н та элементдан р
тадан такрорли ўринлаштиришлар сони деб аталади ва к
н А каби белгиланади.
Кўпайтириш қоидасига кўра бу миқдор к к
Ан = н формула ёрдамида
топилади.
14-масала. Натурал соннинг ўнли ёзувида фақат тоқ рақамлар бўлса,
бундай сонни «чиройли» деймиз. Жами нечта тўрт хонали «чиройли» сон
бор?
 Бир хонали чиройли сонлар 5 талиги равшан. Бир хонали ҳар бир
«чиройли» соннинг охирига иккинчи тоқ рақамни 5 та усулда ёзишимиз
мумкин. Демак, икки хонали «чиройли» сонлар 2
5 А = 5⋅5=25 та бўлади.
Худди шундай, уч хонали «чиройли» сонлар 3
5 А = 5⋅5⋅5=125 та, тўрт
хоналилари эса 4
5 А = 5⋅5⋅5⋅5=54=625 та. ▲
15-масала. Қизил, қора, кўк ва яшил шарларни бир қаторга неча усулда
жойлаштириш мумкин?
 Биринчи ўринга тўртта шардан ихтиёрийсини қўйиш мумкин.
Иккинчи ўринга эса қолган учта шардан ихтиёрийсини, учинчи ўринга
қолган иккита шарлардан ихтиёрийсини, ва ниҳоят, охирги ўринга энг охирги
шарни қўйиш мумкин.
Жавоб. 4⋅3⋅2⋅1. ▲
Изоҳ. 1 дан н гача барча натурал сонлар кўпайтмаси н! деб белгиланади
ва «эн факториал» деб ўқилади.
Аслида н! берилган н элементли тўплам элементларининг ўрин алмаштиришлари
сонига тенг.
16-масала. 1, 2, 3 рақамларидан уларни такрорламасдан тузилган жами уч
хонали сонлар нечта?
 Биринчи ўринга учта рақамдан ихтиёрийсини қўйиш мумкин.
Иккинчи ўринга қолган иккита рақамдан ихтиёрийсини ва учинчи ўринга
энг охирги рақамни қўйиш мумкин. Демак, жами 3⋅2⋅1=3! та сон. ▲
17-масала. 7 нафар ўқувчи навбатга неча усул билан туриши мумкин?
 Биринчи ўринда 7 нафар ўқувчидан ихтиёрийси туриши мумкин. Иккинчи
ўринда қолган 6 нафар (биринчи ўринда турган ўқувчидан қолганлари),
3- ўринда қолган 5 нафар ўқувчидан ихтиёрийси, ..., охирги ўринда
фақат бир нафари туриши мумкин. Жами 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5 040 та усул. ▲