bo’lsa, ABC ≡ A’B’C’ bo’ladi.
Isbot. Avval AC va A’C’ tomonlarning o’zaro kongruentligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, AC ≡ A’C’ bo’lsin.
C D’
A C’
B’
B
A’
III. ga asosan A’C’ nurda shunday D’ nuqta mavjudki. AC≡A’B’ bo’ladi. Bu vaqtda yuqoridagi teoremaga asosan ABC ≡ A’B’D’ bo’lish, ABC ≡ A’B’D’ bo’ladi. Lekin shartga ko’ra ABC ≡ A’B’C’.
Bu esa III aksiomaga zid. Demak, AC ≡ A’C’ bo’ladi. U holda yuqoridagi teoremaga asosan ABC ≡ A’B’C’.
3. Lobachevskiy aksiomalar sistemasi va undan kelib chiqadigan teoremalar
Beshinchi postulatni isbotlashga doir urunishlar geometriya strukturasini oydinlashtirish borasida muhum ro’l kasb etdi va beshinchi postulatni qolgan aksiomalar va ulardan chiqqan natijalar yordamida isbotlab bolmaydi degan fikrlar tug’ilishiga zamin yaratib berdi.
Shunday xulosaga kelgan olimlardan biri, ulug’ nemis matematigi Karl Fridrix Gaussdir (1777- 1855). Noyevklidiy geometriyani yaratilish sohasidagi Gaussning ishlari uning vafotidan keyingina fan ahliga ma’lum bo’ldi. 1829 yilda Gauss o’z do’sti Basselega yozgan xatida: “Ehtimol, men yaqin orada bu masala bo’yicha nihoyatda keng tadqiqiotlarimni bosmaga berish holatida emasman va umrim bo’yi bunga jur’at qilaolmasam kerak” degan fikrni aytgan. Noyevklidiy geometriyaning yaratilishiga hissa qo’shgan matematiklardan biri vengriyalik ofitser Bol’yaidir (1802-1860). 1823 yili Yanosh Bol’yai noyevklidiy geometriyani ochishga muvaffaq bo’ldi. U 1832 yili (Lobachevskiydan keyin) o’zining otasi qalamiga mansub kitobga ilova tariqasida “Appendiks” deb atalgan asarini e’lon qiladi. Bu ish bilan tanishgan Gauss Yanoshning otasiga yozgan xatida “ bu ishni men maqtolmayman, uni maqtash o’zimni maqtashdir, chunki bu ish so’ngi 30-35 yil davomida mening bu sohada qilgan ishlarimning xuddi o’zidir” deb yozadi. Katta obro’ga ega bo’gan Gaussdan bunday javobni olish yanosh Bol’yaini juda hayajonga keltiradi va bu sohadagi ishini tark etib, qolgan hayotini og’ir musibatda o’tkazadi. Gauss va Bol’yai tomonidan noyevklidiy geometriya sohasida qilingan ilmiy ishlar ulug’ rus matematigi Nikolay Ivanovich Lobachevskiy tomonidan bu sohada qilingan ishlarning faqat bir qismidir. Nikolay Ivanovich Lobachevskiy 1792 yil 1 dekabrda Nijniy Novogorod shahrida mayda chinovnik oilasida dunyoga keladi. 1811 yili Qozon universitetini muvoffaqiyatli tugatganidan so’ng, uning qobilyati va mehnatsevarligiga qoyil qolgan olimlar uni shu universitetda ishga olib qolishadi. U 1816 yildan boshlab professor lavozimida ishlay boshlaydi. Lobachevskiy birinchi pedagogik faoliyatini studentlarga geometriyadan leksiya o’qishdan boshlaydi. U ayniqsa “Geometriya asoslari”ni chuqur o’rganadi, natijada Yevkilidning “Negizlari” da katta yetishmovchilik borligini sezadi, umuman geometriyani negizidan boshlab qayta ko’rib chiqishni o’z oldiga maqsad qilib qo’yadi. 1815-1817 yillardan boshlab u ham ishni boshqa olimlar kabi, beshinchi postulatni tahlil qilishdan boshlaydi. Lobachevskiy beshinchi postulatga berilgan isbotlarda qat’iylik yo’qligini sezadi. O’zining dastlabki ishlarida beshinchi postulat haqida bunday deydi: “ Uning jiddiy isboti hali topilganicha yo’q”.
1826 yil 11 fevralda Qozon universiteti fizika-matematika fakul’tetining ilmiy sovetida Lobachevskiy “Geometriyadagi prinsiplar haqidagi mulohazalar” nomli doklad qilib, uni 1829 yili shu universitetning “ Казанский вестник” djurnalida “О началах геометрии” nomi bilan bostirib chiqardi. Ilmiy sovetda qilingan doklad va djurnalda chiqqan yuqoridagi maqola Lobachevskiyni noyevklidiy geometriya bo’yicha qilgan ilmiy ishining ilk natijalari hisoblanadi. Shuning uchun 11 fevral (1826 yil) noyevklidiy geometriyaning tug’ilish sanasi hisoblanadi. Lobachevskiy bu asardagi natija- xulosalarini yanada takomillashtirib, quyidagi asarlarni yaratadi.
1. Xayoliy geometriya(Воображаема геометрия) (1835 yil).
2. Xayoliy geometriyaning ba’zi integrallariga tatbiqi (1835 yil).
3. Parallellar nazaryasi bilan to’ldirilgan geometriya negizlari (1838).
4. Parallel to’g’ri chiziqlar nazaryasi bo’yicha tadqiqot (1840).
5. Pangeometriya (1855).
Lobachevskiyning ilmiy tadqiqotini quyidagicha yakunlash mumkin: 1. Beshinchi postulatni Yevklidning qolgan aksioma va postulatlaridan mantiq qonunlari asosida keltirib chiqarish mumkin emas. Beshinchi postulot o’rinli bo’lmagan geometriya ham mavjud. Shunisi achinarliki, uning ochgan buyuk yangiliklarini e’tirof etmadilar, buning ustiga, ba’zilar Lobachevskiyni “aqildan ozibdi” degan iboralarni ishlatishgacha borib yetdilar.
Lobachevskiy ilmiy ishlar bilan bir vaqtda tashkilotchilik ishlarida ham aktiv qatnashdi, yigirma yil davomida (1827- 1846) Qozon universitetining rektori lavozimida ishladi. Hayotining so’ngi yillarida ikkala ko’zi ojiz bo’lib qoladi, lekin shunga qaramay, ilmiy ishni davom ettirib, o’zining so’ngi asari “Pangeometriya” ni diktovka qilib yozdiradi.
Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy aksiomasini qo’shish bilan hosil qilinadi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida absolyut geometriyaning barcha ta’rif va teoremalari o’z kuchini saqlaydi.
