1-Ma’ruza. Diskret tuzilmalar, ularga misollar

Algebraik tuzilmalar _{ } to’plam elementlari uchun har qanday ikki elementga mos keluvchi uchinchi elementni bir qiymatli aniqlash usuli berilsa buni kompozitsiya qonuni deyiladi. Kompozitsiya qonuni aniqlangan tuzilma algebraik tuzilma deyiladi.

Ortiqcha izohlarsiz algebraik strukturalarga misollar keltiramiz. Umumiyatni saqlash uchun amal belgisi sifatida dan foydalanamiz.

1. 
   Amal sifatida qo’shish olingan natural sonlar to’plamini olaylik. Uning aksiomatik ta’rifi quyidagicha bo’ladi.
   

1. 
   _{ }
   
2. 
   
   
3. 
   ,
   

2. Ko’paytirish amaliga nisbatan natural sonlar to’plami uchun aksiomatik ta’rif yuqoridagidek bo’lishi tushunarli.

3. Natural sonlar to’plami bo’lish amaliga nisbatan algebraik tuzilma bo’la olmaydi. CHunki 1) _{ } uchun _{ } bajarilmaydi.

4. Tekislikdagi vektorlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan algebraik tuzilma tashkil etadi. Haqiqatdan ham _{ } lar uchun qo’shish amalini

ko’rinishda kiritsak 1) _{ } 3) shartlar bajarilishini ko’ramiz. SHuningdek bu muloxazalar uch o’lchovli fazo vektorlari _{ } uchun ham o’rinli.

5. 
   Bir xil o’lchamli matritsalar to’plami ham qo’shish amaliga nisbatan algebraik tuzilmaga tashkil etadi. Buni amal ta’rifidan ko’rish mumkin.
   

_{ }; _{ }

Algebraik strukturaga yana bir misol sifatida Bul tuzilmasini kiritish mumkin. Bu yerda ko’rilayotgan to’plam sifatida elementlari mantiqiy o’zgaruvchilar bo’lgan (qiymatlari faqat “chin” yoki “yolg’on”) to’plamni, amal sifatida esa qo’shish va inkor amali kiritilgan bo’lsin. To’plamda birlik “chin” elementi deb belgilangan bo’lsin. Bu xolda Bul tuzilmasi aksiomatik nazariyasi quyidagicha beriladi.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   bo’lganda va faqat shu xoldagina bo’ladi.
   

Bu yerda inkor amali ko’rinishda ifodalangan.

Tartib tuzilmalari to’plamning ixtiyoriy ikki elementi lar uchun dan kichik, yoki ga teng munosabat berilgan bo’lsin. Bu munosabatni kabi belgilaylik. Munosabat aksiomalarini quyidagicha ifodalash mumkin.

1. 
   uchun
   
2. 
   va bo’lsa bo’lsin
   
3. 
   va bo’lsa bo’lsin
   

aksiomalarni qanoatlantiruvchi munosabat berilgan bo’lsa to’plamda tartib tuzilmasi aniqlangan deymiz.

Shuningdek to’plamlar uchun qism to’plam tushunchasi ko’rinishda ifodalansa, yani ning barcha elementlari ga ham tegishli, da undan boshqa elementlar ham bo’lishi mumkin bo’lsa ning qism to’plami deyiladi. Bu xolda S amaliga nisbatan to’plam qism to’plamlari tartib tuzilmasini tashkil etadi. Haqiqatan ham aksiomalar bajarilishi ko’rinib turibdi.