1-ma’ruza Boshlangich funksiya, aniqmas integral va ularning geometrik talqinlari. Aniqmas integralning xossalari va integrallash usullari. Asosiy elementar funksiyalar integrallari. Integrallash usullari. Bevosita integrallash

v) To’g’ri kasr ratsional funksiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida 
ifodalash.
)
(
)
(
x
P
x
R
to’g’ri kasr ratsional funksiyaning maxrajini 
.....
)
2
(
)
2
.....(
)
(
)
(
)
(
2
2
m
t
s
r
kx
x
q
px
x
b
x
a
x
x
P










, 
ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu funksiyani yagona 




)
1
(
...
2
...
2
)
2
(
...
2
...
)
(
...
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1

































m
m
m
t
t
t
s
s
r
r
kx
x
E
x
F
kx
x
E
x
F
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
b
x
B
b
x
B
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
P
x
R


ko’rinishda yozish mumkin. Bunda
,
,
, . . . .
,
m
t
s
r
musbat butun sonlar,

,
,
,
,
,
k
q
p
b
a
, haqiqiy sonlar. 
,....
,
,.....,
,
,
,
,...
,
,....
,
1
1
1
2
1
t
t
s
r
N
M
N
M
B
B
A
A
A
lar ayrim haqiqiy sonlar. 
(1) tenglikka to’g’ri ratsional funksiyaning
 
sodda kasrlar orqali yoyilmasi
deyiladi. 
(1)
yoyilmadagi 
,....
,
,.....,
,
,
,....
,
1
1
2
1
t
t
r
N
M
N
M
A
A
A
koeffitsientlarni topish uchun uni 
)
(
x
P
ga ko’paytiramiz. 
)
(
x
R
ko’phad 
bilan (1) yoyilmaning o’ng tomonida hosil bo’lgan ko’phad o’zaro teng 
bo’lishi uchun bir xil darajali 
x
lar koeffitsientlari o’zaro teng bo’lishi kerak. 
Bir 
xil 
darajali 
x
lar 
koeffitsientlarini 
tenglashtirib 
,....
,
.....,
,
,....
,
1
1
2
1
N
M
A
A
A
r
, nomahlum koeffitsentlarga nisbatan chiziqli 

---

tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu tenglamalar sistemasini yechib 
aniqmas koeffitsientlarni topamiz. 
Ratsional funkiya yoyilmasidagi nom‘lum koeffitsientlarni bunday 
usul bilan topishga 
noma‘lum koeffitsientlar usuli
deyiladi. 
 
Ayrim irratsional funksiyalarni integrallash.
Irratsional funksiyalarni 
integrallash
ko’p hollarda o’zgaruvchini almashtirish bilan ratsional funksiyalarni 
integrallashga keltiriladi. Bunday irratsional funksiyalarning ayrimlarini qaraymiz. 
 


p
n
m
bx
a
x
)
(
.
1
ko’rinishdagi integral
ni ќisoblash talab etilsin, 
bunda 
p
n
m
,
,
ratsional sonlar, 
a
va 
b
lar no’ldan farqli o’zgarmaslar.
1) 
p
butun son bo’lsa, Nyuton binomi bo’yicha yoyish bilan integrallanadi; 
2) 
n
m
1

butun bo’lsa,
s
n
t
bx
a


almashtirish orqali
ratsionallashtiriladi, bunda 
p
s
kasrning maxraji;
3) 
p
n
m


1
butun bo’lsa,
s
n
t
b
ax



almashtirish olinib,
ratsional funksiyaga keltiriladi. 



c
bx
ax
dx
2
 ko’rinishdagi integralni qaraymiz. 
Bunday ko’rinishdagi ifodalarni integrallash kvadrat uch haddan to’la 
kvadrat ajratish bilan


2
2
u
a
du
yoki


2
2
u
a
du
jadval 
integrallaridan biriga keltiriladi. 
 Trigonometrik funksiyalarni integrallash 
Har xil argumentli sinus va kosinuslar ko’paytmalari shaklidagi funksiyalarni 
integrallash.



nxdx
mx
nxdx
mx
nxdx
mx
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
(1) 
ko’rinishdagi integrallarni hisoblaymiz. Maktab kursidan ma’lum bo’lgan 
trigonometrik funksiyalar ko’paytmasini, yig’indiga keltirish 






1
sin cos
sin(
)
sin(
) ,
2
1
sin sin
cos(
)
cos(
) ,
2
1
cos cos
cos(
)
cos(
)
2


 
 


 
 


 
 












formulalardan foydalanib, (1) ko’rinishdagi integrallarni 


bxdx
axdx
cos
,
sin
integrallardan biriga keltirib itegrallanadi. 

---

dx
x
x
n
m

cos
sin
ko’rinishdagi integrallarni hisoblash.
Bunda 
n
m
,
lar butun sonlar. Xususiy hollarda 
m
yoki 
n
sonlardan birontasi 0 ga teng bo’lishi 
ham mumkin.
1) 
m
yoki 
n
sonlardan bittasi toq bo’lsin. Bu holda integral ratsional 
funksiyalarni integrallashga keltiriladi. Bunda integrallash mohiyati quyidagi 
misollardan tushunarli bo’ladi. 
Endi 
m
va 
n
sonlar ikkalasi ham toq yoki juft va musbat bo’lsin. Bunday hollarda 
x
x
x
x
x
x
x
2
sin
2
1
cos
sin
,
2
2
cos
1
cos
,
2
2
cos
1
sin
2
2





formulalardan foydalanib, darajalarni pasaytirib, integrallanadi. 
Mustahkamlash uchun savollar 
1. Boshlang’ich funksiya qanday funksiya? 
2. Aniqmas integral qanday xossalarga ega? 
3. Asosiy integrallar jadvali nimalardan iborat?
 
4 . O’zgaruvchini almashtirib integrallashning mohiyati nima? 
5. Bo’laklab integrallash qanday holda maqsadga muvofiq bo’ladi? 
6. Noto’g’ri kasr ratsional funksiyani integrallash, to’g’ri ratsional funksiyani 
integrallashga qanday qilib keltiriladi? 
7. Irratsional funksiyalar qanday integrallanadi? 
8. Trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indiga keltiriladigan 
formulalarni yozing? 
Foydalanilgan adabiyotlar 
1.
G.Xudoyberganov, A.K.Vorisov, X.T. Mansurov, B.A.Shoimqulov. 
Matematik analizdan ma‘ruzalar 1-qism.-T.: Voris nashiriyot, 2010.
 
2.
Soatov Yo.U. Oliy matematika. 3-qism. -T.: O’qituvchi, 1996. 
 
3.
Д.Писменный. "Конспект лекций по высшей математике", Полный курс. 
-M.: Айрис Пресс, 2006.