1 кўринишидаги интегрални ҳисоблаш масаласи қўйилаяпти, бу ерда а ва b

X_i= a + ih қадамида аппроксимацияловчи нолинчи тартибли полином, яъни ўзгармас катталик Y = f(x_I) билан алмаштирилади (16-расм). Арифметик прогрессияни ташкил этувчи X = {x_I}, i = 0,1,2, … , N сонлар кетма-кетлиги учун ўзгармас катталикларни ҳисоблаймиз:
Y₀ = f(x₀), Y₁ = f(x₁), Y₂ = f(x₂), … Y_I = f(x_I), … Y_N = f(x_N).
Демак, эгри чизиқли трапеция N-1 та тўртбурчаклар билан алмаштирилади ва интегрални қиймати тўртбурчаклар юзаларининг йиғиндисига тенг бўлади:

r_{y f(x)}

Y

S₀ S₁ S₂ S₃ S_i S_N-2 S_N-1

X
a h h h h … h h b

16–расм.


S₀ = hY₀ , S₁= hY₁ , S₂ = hY₂ , … , S_i = hY_i , … ,
S_N-1 = hY_N-1.

(4)
интегрални қийматини R хатолик билан чап тўртбурчаклар усулида ҳисоблаш алгоритмлари 17-расмда келтирилган.


Б Б Б
a , b , N a , b , N a , b , N
h = (b-a)/N h = (b-a)/N h = (b-a)/N
S = f(a) x=a , S = f(x) S = 0
i = 1, N-1 i = 1 , N-1 x = a, b - h , h
x_i = a + ih x = x + h
S = S + f(x_i) S = S + f(x) S = S + f(x)


S = hS S = hS S = hS
S , N S , N S , N


Тамом Тамом Тамом

17-расм.
Ўнг тўрбурчаклар усули. [ a , b ] интеграллаш оралиги N та тенг бўлакларга бўлинади h = (b-a)/N . Бу ҳолат учун тўртбурчакларни баландликлари (ординаталари) қуйидагича аниқланади (18-расм).

r_y
Y
f(x)


S_N-1 S_N-2 S_i S₃ S₂ S₁ S₀
X
a h h h h h h b
18 – Расм.


X₀ = b , X₁ = b – 1h, X₂ = b – 2h, … , X_I = b – ih, … , X_N = b – Nh = a.


Y₀ = f(x₀), Y₁ = f(x₁), Y₂ = f(x₂), … , Y_i = f(x_i), … , Y_N-1 = f(x_N-1),


x_i = b-ih, i = 0,1, …, N-1.

S_i = hf(x_i) , x_i = b – ih , i = 0,1, … , N-1.
(5)
x_i = b – ih , i = 1,2, … , N-1.
Интегрални қийматини R хатолик билан ўнг тўртбурчаклар усулида ҳисоблаш алгоритмлари 19-расмда келтирилган.


Б Б Б
a , b , N a , b , N a , b , N
h = (b-a)/N h = (b-a)/N h = (b-a)/N
S = f(b) x=b , S = f(x) S = 0
i = 1, N-1 i = 1 , N-1 x = b , a+h, -h
x_i = b - ih x = x - h
S = S + f(x_i) S = S + f(x) S = S + f(x)


S = hS S = hS S = hS
S , N S , N S , N


Тамом Тамом Тамом

19 – Расм.

Итегрални қийматини чап (4) ёки ўнг (5) тўртбурчаклар усулида ҳисоблаганда R хатолик нисбатан анча юқори қийматга эга бўлади. R хатоликни қийматини баҳолашни кейинги усулда кўриб чиқамиз.

Ўрта қийматли тўрбурчаклар усули. чап ва ўнг тўртбурчаклар усулида ҳосил бўладиган хатоликни камайтириш мақсадида (n ни қийматини ўзгартирмаган ҳолда) интеграл остидаги f(x) функцияни интеграллаш қадамига мос [x_i , x_i+1] кесмани ўртасидаги қийматга мос келувчи ўзгармас катталик билан алмаштирамиз, яъни

У ҳолда битта тўртбурчакни юзаси қуйидагича ҳисобланади (20-расм)

Y f(x)
f(x_i)


S_i


X
a x_i x_i+1 b
20-расм.

Ўрта тўрт бурчакни юзаси қуйидагича ҳисобланади

Изланаётган интегрални қиймати қуйидагича ҳисобланади

Ўрта қийматли тўртбурчаклар усули билан интегрални қийматини ҳисоблаш алгоритми 21–расмда келтирилган.


Б Б Б
a , b , N a , b , N a , b , N
h = (b-a)/N h = (b-a)/N h = (b-a)/N
S = 0 x=a + h/2, S=f(x) S = 0
i = 1, N i = 1 , N x = a+h/2, b, h
x_i = a+h/2+(i–1)h x = x + h
S = S + f(x_i) S = S + f(x) S = S + f(x)


S = hS S = hS S = hS
S , N S , N S , N


Тамом Тамом Тамом

21–расм.

Ўрта қийматли тўртбурчаклар усулида хатоликни баҳолаш. Умумий хатолик R = r_У + r_Я . r_У - усулни чекланиш хатолиги; r_Я - яхлитлаш хатолиги. Усулни чекланиш хатолиги қуйидагига тенг:
R_у = J_а,к - J_т,к ,
J_а,к - Интегрални аниқ қиймати; J_т,к - Интегрални тақрибий ҳисобланган қиймати.
Хатолик R_у ни баҳолаш учун интеграл остидаги функцияни x_i нуқта атрофида Тейлор қаторига ёямиз.
(8)

Интеграл остидаги f(x) функцияни ўрнига функцияни нуқтадаги Тейлор қаторига ёйилмасини қўйиб ҳадлаб интеграллаш натижасида қуйидаги ифода ҳосил қилинади.

(9)
Юқоридаги ифодани ҳадларини қийматини ҳисоблаш пайтида, ифодадаги нинг жуфт даражали ҳадларининг қиймати нолга айланиб кетади.
Чексиз йиғиндини ифодаловчи (9) ифодадаги биринчи ҳад ўрта тўртбурчаклар усулини формуласидир, қолган ҳадлари эса мазкур усулни хатолигини ташкил қилади. Интеграллаш қадамининг сон қийматини жуда кичиклигини ҳисобга олсак усулни хатолигини иккинчи ҳадни қиймати билан чекланса бўлади, яъни
(10)
Бутун [a , b] оралиқнинг интеграллаш қадамларида [x_i , x_i + h] ҳосил бўлган чекланиш хатоликларини жамлаб усулнинг умумий хатолигини аниқлаймиз.
(11)
Ҳосил қилинган ифода, (11) формула, интегрални қийматини ўрта тўртбурчаклар усули билан ҳисоблашдаги чекланиш хатолигини назарий жиҳатдан баҳолаш формуласидир. Бу формула чекланиш хатолигини амалий жиҳатдан ҳисоблаш учун ноқулайдир.
Трапеция формуласи:
Трапеция формуласининг қолдиқ ҳадини қиймати қуйидагича ҳисобланади:


Агар M=max деб олинса
. (12)
[1] адабиётда келтирилган маълумотлар асосида яхлитлаш хатолигини юкори чегарасини қуйидагича баҳолаш мумкин:
(13)
бу ерда - барча f(x ) ларнинг ўртача киймати ;
- битта арифметик амални яхлитлаш хатолиги;
t - вергулдан кейинги ишончли рақамлар сони.

Симпсон формуласи:

, бу ерда ; c= 1 ; i=1,3,5, ... . ;
Симпсон формуласининг қолдиқ ҳадини қиймати қуйидагича ҳисобланади:
, (14)
бу ерда M=max ; .
Демак, Симпсон формуласи аниқлиги бўйича 4 – тартибли бўлиб қолдиқ ҳадида жуда кичкина қийматли коэффициентга ( ) эга. Симпсон формуласи аниқ ечимни беради агар интеграл остидаги функцияни =0 lV – тартибли ҳосиласи нолга тенг бўлса. Акс ҳолда 2 – тартибли усуллар анча юқори аниқликда ҳисоблаши мумкин, Симпсон усулига нисбатан.
Масалан, функция учун n=2 да [-1,1] интеграллаш оралиғида т\рапеция усули J=4 га тенг бўлган аниқ натижани беради, айни шу шароитда Симпсон формуласи анча кўп хатоликка йўл қўяди (натижа J= -8/3).
Юқоридаги (11), (12), (13), (14) формулаларни таҳлил қилиш натижасида усулни чекланиш хатолиги h² га, яхлитлаш хатолиги эса 1/h га боғлик, эканлиги кўриниб турибди. Демак, h ни камайиши билан хатолик r_у камаяди, r_Я эса ортаборади.
Назарий жиҳатдан h ни камайтира бориб интегрални хоҳлаганча аниқликда ҳисоблашга имконият бор дейиш мумкин, лекин амалда бундай бўлмайди, сабаби яхлитлаш хатолиги бунга йўл қўймайди. Шу сабабдан [а;b] оралиқда интегрални ҳисоблашда h ни хоҳлаганча кичик қийматини олиб бўлмайди, чунки ҳар бир интеграл остидаги функция учун оптимал бўлакларга бўлиш қиймати мавжуд, яъни N₀ (14-расм).

Аниқ интегрални тақрибий ҳисоблашга доир мисоллар