1. Kópliktiń limit noqatı. 

teńsizlik orınlanadı. Bul  f  x_n  izbe-izliktiń b noqatqa jıynaqlı ekenin bildiredi.

2. 
   Meyli, b sanı f  x  funkciyanıń a noqatdaǵı Geyne anıqlaması boyınsha limiti bolsın. Usı b sanı f  x  funkciyanıń a noqattaǵı Koshi anıqlaması boyınsha
   

da limiti bolatuǵının kórestemiz. Meyli, bunday bolmasın, onda bazı bir   0 hám

jetkilikli dárejede

kishi

  0

san

ushın 0 

x  a

  shártti qanaatlandırıwshı

keminde bir x  x noqat tabılıp,

f  x   b

  teńsizlik orınlı boladı.

Solay etip, biz n



1

 n 1, 2,... sanlardan dúzilgen izbe-izlik alıwımız hám

n

bul sanlardıń hár biri ushın

0 

xn  a

 n

shártti qanaatlandırıwshı keminde bir

xn  x noqat tabılıp,

f  xn   b

 

teńsizlik orınlı boladı dep tastıyıqlawımız

múmkin eken.

0 

xn  a

 n

teńsizlikler  x izbe-izlik elementleri a noqattan

ózgeshe, biraq

a

noqatqa jıynaqlı izbe-izlik ekenin bildiredi. Geyne anıqlaması

boyınsha sáykes



f

 x 

izbe-izlik b sanǵa jıynaqlı bolıwı kerek, al buǵan hámme

n



n nomerler

ushın

orınlı

bolǵan

f  xn   b

 

teńsizlik qarama-qarsı keledi.

Demek, b sanı

f  x  funkciyanıń a noqattaǵı Koshi anıqlaması boyınsha da limiti

boladı eken.

Funkciyanıń

bir

tárepli limitleri. Funkciyanıń berilgen a noqattaǵı bir

tárepli (shep yaki

oń)

limiti

túsinigin kiritemiz. Meyli,

y  f  x 

funkciyanıń

anıqlanıw

oblastı

bolǵan

 x  R

kóplik

 0

ushın

anoqattıń

U ^  a    a , a   

oń

(U ^  a    a   , a 

shep)

 -dógereginde

keminde bir

elementke iye bolsın.


4-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı bir tárepli limitiniń Geyne anıqlaması). Eger argumenttiń a sanınan úlken (kishi) mánislerinen dúzilgen hám

1. 
   noqatqa jıynaqlı  x_n  izbe-izlik sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen
   

	n			sanına jıynaqlı bolsa, onda b sanı f  x 
	f  x		izbe-izlik b		funkciyanıń a

noqattaǵı oń

(shep) limiti

dep

ataladı

hám

lim

f  x   b

lim

f  x 

 b



yaki

x  a  0

^x  a 0

f  a  0   b

 f  a  0  b 

dep jazıladı.

5-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı bir tárepli limitiniń Koshi

anıqlaması).

Eger

 0

san

ushın

 

sanı

tabılıp,

a  x  a  

 a    x  a 

shártin

qanaatlandırıwshı

x  x

noqatta

f  x   b

  teńsizligi orınlı bolsa, onda b sanı

f  x  funkciyanıń a noqattaǵı oń

(shep) limiti dep ataladı.

3-teorema. Funkciyanıń noqattaǵı bir tárepli limitiniń Geyne hám Koshi

anıqlamaları ekvivalent.

Mısal.

y  sgn x

funkciya

x  0

noqatta oń, hám shep limitke

iye

hám

lim sgn x  1, lim sgn x  1. Bul funkciya

x  0 noqatta limitke iye emes. Bul

x 0 0

x0 0