1. Комплексные числа в алгебраической форме: Комплексные числа это числа вида a

29. Декартовы координаты вектора
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.
Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.
Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.
Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

30. Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора (в пространстве) – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a; b; c) направляющие косинусы равны:

где , ,  – углы, составляемые вектором с осями x, y, z соответственно.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1

31. Скалярное произведение векторов
Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.
Обычно для скалярного произведения векторов {\displaystyle \mathbf {a} }  и {\displaystyle \mathbf {b} }  используется одно из следующих обозначений.
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}  или просто {\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }
{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }  и {\displaystyle \langle a|b\rangle ;}  второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния^[1].
В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов {\displaystyle \mathbf {a} }  и {\displaystyle \mathbf {b} }  как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними^[2]:
{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).}
Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю^[3].
У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры^[⇨]. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы^[4]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.
Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения^[5].