Ikki o’lchovli integralni qutb kordinatalar sistemsida hisoblash.Ikki o’lchovli integralaning gemetriya va mexanikaga tatbiqi.
Reja;
1)Ikki o’lchovli integralni qutb kordinatalar sistemasida hisoblash
2) Ikki o’chovli integralning geometrik va mexanik tatbiqi
Javoblar;
1) Tayanch iboralar: Ikki o’lchovli, integral, , ( integrallash sohasi, y=(1(x) vа y=(2(x), Оу o’qqa parallel to’g’ri chiziq, ,
Faraz qilaylik D soha ikki o’lchovli integralni integral yig’indining limiti sifatida hisoblash aniq integral bo’lgan holdagi kabi katta qiyinchiliklar bilan bog’liq. Аna shundan qutilish maqsadida, ikki o’lchovli integralni hisoblashni ikkita aniq integralni ketma-ket hisoblashga keltiriladi. Bu qanday bajarilishini ko’rsatamiz. Soddalik uchun integrallash sohasida integral ostidagi funktsiya (x,y) ( 0 bo’lgan hol bilan chekalanamiz. Bu farazimiz ikki o’lchovli integralni, silindrik jismning hajmi sifatida qarashimizga imkon beradi.
Shunday qilib, (x,y) uzluksiz funktsiyadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash talab qilinmoqda.
Аvval bunday faraz qilamiz: ( integrallash sohasi ikkita y=(1(x) vа y=(2(x) egri chiziq hamda ikkita x=a vа x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan. Shu bilan birga х ning a vа b оrasida yotuvchi barcha qiymatlari uchun (2(x) ((1(x) tengsizlik o’rinli bo’lsin.
Ох o’qdagi (х;0) nuqta orqali Оу o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq sohani chegaralab turgan egri chiziqlar bilan C1 va C2 nuqtalarda uchrashadi. C1 nuqtani kirish nuqtasi. C2 nuqtani esa chiqish nuqtasi deb ataymiz. Ularning ordinatalarini mos ravishda ykir vа уchiq bilan belgilaymiz. Кirish nuqtasining ordinatasi уkir=(1(х) vа chiqish nuqtasining ordinatasi уchiq=(2(х) bo’ladi. Ма’lumki, ikki karrali integral son jihatidan z=(x,y) sirtning ( yuzachaga proyeksiyalangan silindrik sirtning V hajmiga teng. V=
Endi silindrik jismning V hajmini boshqacha yo’l bilan, chunonchi, ko’ndalang kesimlar usuli yordamida hisoblaymiz.
Biz bilamizki, аgar jismning Ох o’qqa perpendikulyar vа x(a(x(b) аbsissali nuqta orqali o’tuvchi tekislik bilan kesimi s(x) yuzaga ega bo’lsa, u holda jismning V hajmi
(7)
formula bilan ifodalanadi. Bu formulani silindrik jismning hajmini hisoblashga tadbiq qilamiz. (x;0;0) nuqta orqali Ох o’qqa perpendikulyar tekislik o’tkazsak, kesimda C1M1M2C2 egri chiziqli trapetsiyani hosil qilamiz. M1M2 chiziqning z= (x,y) аpplikatasi х o’zgarmas bo’lganda faqat у ning funktsiyasi bo’ladi, shu bilan birga, у аrgument уkir=(1(х) dan уchiq=(2(х) gacha o’zgaradi. C1M1M2C2 trapetsiyaning S(x) yuzi, ravshanki, ushbu aniq integralga teng:
(8)
Shunday qilib, (8) formula silindrik jism ko’ndalang kesimi yuzini aniqlaydi.
(7) tenglikka S(x) ning ifodasini qo’yib,
ni hosil qilamiz.
Biroq, ikkinchi tomondan silindrik jismning V hajmi ikki karrali integralga teng bo’lganligi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:
=
yoki
= (9)
Bu izlanayotgan formuladir.
Misol 1 funktsiyadan G: kvadrat bo’yicha hisoblaylik.
Echish: (9) formulaga asosan quyidagini hosil qilamiz
Misol 2. funktsiyadan G: to’rtburchak bo’yicha hisoblaylik.
Echish: (9) formuladan foydalansak quyidagiga ega bo’lamiz
Misol 3. integralni chiziqlar bilan chegara-langan soha bo’yicha hisoblaylik.
Echish:
Misol 4. funktsiyadan markazi koordinata boshida, radiusi R ga teng doira bo’yicha integral hisoblansin.
Echish:
2)) 1. Ikki oʻlchovli integral, uning xossalari, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash.
Rimanning karrali integrallar nazariyasi fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri, uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. bo‘lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo‘lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz. Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda quyidagi
(1)
funksiyaning soha uchun integral yig‘indisinituzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.
Ta’rif. Agar (1) integral yig‘indining 0 ga intilgandagi limiti mavjud bo‘lib, u chekli songa teng bo‘lsa hamda uning qiymati sohaning bo‘linish usuliga va nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda o‘sha son funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integrali(Riman ma’nosidagi integrali) deyiladi va u
yoki
kabi belgilanadi. funksiya sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda funkтsiya sohada integrallanuvchi emas deyiladi.
Shunday qilib,
(2)
Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz.
Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordam
3)
4)
6. Vektor maydoning divergensiyasi, fizik ma’nosi. Vektor maydonning rotori, uning xossalari
fazoning sohasida
vektor maydon berilgan bo‘lsin, unda funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar. Ta’rif. vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ko‘rinishda yoiladi va
formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.
Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:
Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi normali yo‘nalishida orientirlangan) vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng. Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:
bu yerda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
1.Divergensiyaning invariant ta’rifi. Divergensiyani (67) formula yordamida aniqlash koordinata o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq. Ostogradskiyning (16) formulasidan foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o‘qlarini tanlash bilan bog‘liq bo‘lmagan boshqa ta’rifini berish mumkin. Bu formulaning o‘ng qismida uch karrali integral turibdi. O‘rta qiymat haqidagi ma’lum teoremaga ko‘ra bu integral hajm bilan integral osti funksiyasining sohaning biror nuqtasidagi qiymati ko‘paytmasiga teng. Shuning uchun (67) Ostogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin: yoki
Agar soha nuqtaga tortilsa yoki bo‘lsa, u holda nuqta ga intiladi. Natijada limitga o‘tib, quyidagini hosil qilamiz:
Do'stlaringiz bilan baham: |