1. Funksiyaning doimiylik sharti. Funksiyaning to’plamdagi va nuqtadagi monotonlik sharti

1.3. Funksiyaning nuqtada monotonlik sharti. Biz shu paytgacha funksiyaning o‘sishi va kamayishi tushunchalarini biror oraliqqa nisbatan kiritdik va o‘rgandik. Ba’zi hollarda bu tushunchalarni nuqtaga nisbatan qarash foydadan holi emas.
Faraz qilaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan va x₀(a;b) bo‘lsin.
Ta’rif. Agar x₀ nuqtaning shunday (x₀-; x₀+) atrofi topilib, x₀ bo‘lganda f(x)₀) ( f(x)>f(x₀) ), x>x₀ bo‘lganda esa f(x)>f(x₀) ( f(x)₀) ) bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x₀ nuqtada o‘suvchi ( kamayuvchi ) deyiladi.
Endix₀nuqtadamonotonlikningyetarlishartinikeltiramiz.
4-teorema. f(x)funksiyax₀(a;b)nuqtadadifferensiallanuvchibo‘lsin. Agar f^’(x₀)>0 (f’(x₀)<0)bo‘lsa, u holdaf(x)funksiyashunuqtadao‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.
Isboti. Shartgako‘racheklif’(x₀)mavjudva u noldankatta (kichik) bo‘lganiuchunushbu
>0 (<0)
tengsizliko‘rinli. Limitgaegabo‘lganfunksiyaningxossalaridanx₀nuqtaningshunday (x₀-; x₀+) atrofitopilib, buatrofda
(<0)
tengsizlikningbajarilishikelibchiqadi. Demak, x₀bo‘lgandaf(x)₀) (f(x)>f(x₀)) tengsizlik, x>x₀bo‘lgandaesaf(x)>f(x₀) (f(x)₀))tengsizlik ham o‘rinli. Bu f(x)funksiyaningx₀nuqtadao‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishiniifodalaydi. Teoremaisbotbo‘ldi.
Funksiyahosilasinolgatengbo‘ladigannuqtalardafunksiyao‘sishi ham, kamayishi ham mumkin. Masalan, y=x⁵funksiyahosilasix=0 nuqtadanolgateng, lekinfunksiyashunuqtadao‘suvchi; y=-x⁵funksiyahosilasi hamx=0 nuqtadanolgateng, lekinbufunksiyax=0 nuqtadakamayuvchiekanliginiko‘rishqiyinemas.
Endibirorx₀nuqtadao‘suvchibo‘lganfunksiyaningshunuqtaningatrofidao‘suvchibo‘lishishartemasliginiko‘rsatuvchimisolkeltiramiz.
Ushbu funksiyaberilganbo‘lsin. Bu funksiyabarchanuqtalardahosilagaega. Haqiqatan ham, x0laruchun
, x=0 uchunesa
f’(0)= =1>0 bo‘ladi.
Demak, 4-teoremaga asosanberilganfunksiyax=0nuqtadao‘suvchibo‘ladi.
Endiquyidagi
n=1, 2, 3, ...
nuqtalardahosilaningqiymatlarinihisoblaymiz:

Demakberilganfunksiyaninghosilasi>0 soniqandaybo‘lmasinnningyetarlichakattaqiymatlarida (-; ) atrofida ham musbat, ham manfiyqiymatlarniqabulqiladi. Bundanf(x)funksiyaningo‘zix=0 nuqtadao‘suvchibo‘lganibilanbunuqtaning(-; )atrofidahosilagaega, lekinshuatrofdamonotonemasligikelibchiqadi.
Yuqorida biz f(x)= funksiyahosilasi
f’(x)= ekanliginiko‘rdik.
Shuhosilaniuzluksizlikkatekshiraylik. Agar x0 bo‘lsa, f’(x)funksiyaninguzluksizligiravshan. Agar x=0bo‘lsa, u holda f’(x)mavjudemas, demakhosila x=0 nuqtadauzilishgaega.
O‘quvchilargaquyidagiteoremaniisbotlashnitaklifqilamiz:
Teorema. Agar x₀nuqtadaf(x)funksiyahosilasimavjud, uzluksizvaf’(x₀)>0 bo‘lsa, u holdax₀nuqtaningshunday (x₀-;x₀+) atrofimavjudbo‘lib, bundaf(x)funksiyao‘suvchibo‘ladi.

Foydalanilganadabiyotlar

1. ToshmetovO’.,Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -205-212 va222-230 b.
2. Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.- 178-185p.
3. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.:«Voris-nashriyot». 2010 y. 158-164 b.