1. Евклид фазосининг таърифи. Таъриф-1

Таъриф-2. Евклид фазосида х векторнинг узунлиги деб
(x, x) (4)
с онга айтилади. х векторнинг узунлигиниx билан белгилаймиз.
Векторлар орасидаги бурчак, вектонинг узунлиги ҳамда векторларнинг скаляр кўпайтмалари одатдаги муносабатлар билан боғланган: векторларнинг скаляр кўпайтмаси уларнинг узунликлари кўпайтмаси билан улар орасидаги бурчак косинуси кўпайтмасига тенг. Аммо бу жумладаги «векторлар орасидаги бурчак» сўзларидан ташқари ҳамма сўзларнинг маъноси бизга тушунарли бўлиши учун қуйидаги таърифни берамиз.
Таъриф-3. х ва у векторлар орасидаги бурчак деб
j = arccos(x, y) x × y
сонга айтамиз, яъни
cosj= (x, y) (5)
x × y
деб қабул қиламиз. Агар х ва у векторлар орасидаги бурчак ^p га тенг 2
бўлса, яъни
(х,у)=0
бўлса, х ва у векторлар ортогонал векторлар дейилади.
Киритилган тушунчалар ёрдами билан элементар геометриянинг қатор теоремаларини евклид фазосига кўчириш мумкин.
Бир мисол кўриб чиқайлик. Агар х ва у векторлар ортогонал векторлар бўлса, у ҳолда х+у векторни томонлари х ва у бўлган тўғрибурчак деб ҳисоблаш табиийдир. Энди
x + y ² = x² + y ²
эканини, яъни тўғри тўртбурчак диогонали узунлигининг квадрати, унинг параллел бўлмаган икки томони узунликлари квадратлари йиғиндисига тенг (Пифагор теоремаси) эканини исбот қилайлик.
Исбот. Векторлар узунлиги квадратларининг таърифига мувофиқ:
x + y ² = (x + y, x + y)
Скаляр кўпайтманинг дистрибутивлигига асосан (3⁰ аксиома):
(x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y).
х ва у векторларнинг ортогоналлигидан:
(x, y) = (y, x) = 0.
Демак,
x + y ² = (x,x) +(y, y) = x² + y²,
шуни исбот қилиш керак эди.
Бу теоремани умумлаштириш мумкин. Агар x,y,z,…векторлар жуфт-жуфти билан ортогонал бўлса, у ҳолда
x + y + z +...² = x² + y ² + z ² +...
бўлади.