1 Ədədi ardıcıllıq və onun verilmə üsulları

15)Mürəkkəb və tərs funksiyanın törəməsi

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

Teorem.   funksiyası t₀ nöqtəsində və   funksiyası uyğun   nöqtəsində diferensiallanan olduqda   mürəkkəb funksiyası t₀ nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi

düsturu ilə hesablanır.

İsbatı. Sərbəst dəyişənin müəyyən bir x qiymətində u = φ(x) və y = F(u) və onun x + ∆x qiymətində isə

u + ∆u = φ(x + ∆x), y + ∆y = F(u + ∆u)

olar. Beləliklə, ∆x artıma ∆u, ∆F-ə isə ∆y artımı uyğundur; bundan başqa ∆x  şərtində, ∆u  olduqda isə ∆y  .

Şərtə görə,  törəməsi vardır:


 .

Funksiya limitinin xassəsinə görə, bu münasibətdən

 (1)

alınır. Burada  şərtinə görə (1) bərabərliyini

 (2)

şəklində yazmaq olar. Bu bərabərliyinin hər tərəfini ∆x atrımına bölək:

 . (3)

Şərtə əsasən

 , . (4)

Üçüncü bərabərliyində  şəklində limitə keçərək:

 . (5)

 funksiyası x=x₀ nöqtəsində diferensiallanandırsa və   olarsa onda onun tərs funksiyası   uyğun y₀ nöqtəsində   diferensiallanandır və onun törəməsi

 (1)

düsturu ilə hesablanır.

İsbatı. Əvvəlcə qeyd edək ki, tərs funksiyanın tərifinə əsasən:







.

Onda tərs funksiya üçün:

bərabərliyini yazmaq olar.

Tərs funksiya kəsilməz olduğundan  şərtində  olur. Buna görə də:

 (2)

Bu düsuru

 (3)

şəklindədə yazmaq olar.