1. Differensial tenglama tushunchasi

DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Fan va texnikaning turli sohalarida uchrab turadigan ba’zi masalalar noma’lum funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga keladi. Bunday tenglamalar va ularni yechish usullari differensial tenglamalar nazariyasida o‘rganiladi.


1. Differensial tenglama tushunchasi. Aytaylik, o‘zgaruvchi,  esa uning funksiyasi bo‘lib, …, funksiyaning hosilalari bo‘lsin. o‘zgaruvchi, noma’lum  funksiya va uning turli tartibdagi hosilalari qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.
(1)
tenglik differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishini ifodalaydi. (1) differensial tenglamada qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining yuqori tartibi (1) differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Masalan,

birinchi tartibli differensial tenglamalar,

ikkinchi tartibli differensial tenglamalar bo‘ladi. Xususan, birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi

ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko‘rinishi esa

shaklda yoziladi.


2. Differensial tenglamaning yechimi. Faraz qilaylik, funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, shu oraliqda hosilalarga ega bo‘lsin.
Agar (1) tenglamadagi ning o‘rniga , ning o‘rniga , ning o‘rniga va h.k., ning o‘rniga qo‘yilganda (1) tenglama ayniyatga aylansa:

funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Masalan, funksiya ushbu
(2)
birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham,

larni (2) tenglamadagi  va lar o‘rniga qo‘ysak, u holda

bo‘ladi. Ayni paytda
( – o‘zgarmas son) (3)
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Chunki, larda (2) tenglama ayniyatga aylanadi:

Differensial tenglamaning (3) ko‘rinishdagi yechimi uning umumiy yechimi deyiladi. Bu umumiy yechimda ixtiyoriy o‘zgarmas ning biror tayin qiymatidagi yechim (5) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning umumiy yechimidan degan shart asosida hosil qilinadi. Keltirilgan shart boshlang‘ich shart deyilib, bu shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish differensial tenglamalar nazariyasining muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Odatda bu masala Koshi masalasi deyiladi.