1§ Boshlang’ich funksya va uning tasviri

Siljish teoremasi

Teorema. Agar

f _ t _

funksiyaning tasviri

F _ p _

bo‟lsa, u holda

e ^{ pt} f ( t )

ning tasviri

qilinadi.

F ( p   ) 

e ^{  t} f (t )

boladi. Bunda

R e ( p   )  S ₀

deb faraz

 

L _e ^{  t} f ( t )_  _ e ^{ p t} e ^{  t} f ( t ) d t  <sub>

e</sub>  ( p   ) t _{f (t ) d t}

0 0

L _e ^{  t} f ( t )_ 

F ( p   )

Bu teorema tasvirlar sinfini ancha kengaytiradi va ularning orginali oson topiladi.

Misol.

_e   t _,

sh t , ch t , sin a t , e ^{  t} co s a t

funksiyalarning tasvirini topaylik.

bo‟lgani uchun ¹

p  

_{ e}   t

bo‟ladi, shunga o‟xshash ¹

p  

 e ^{ t} . Bulardan

ikkinchisidan birinchisini ayirib 2-ga bo‟lamiz: ¹ (

2

1

p  

1

 ) 

p  

¹ _{( e}  t

2

_{ e}   t ₎

yoki



p ²   ²

 sh t

agar ularni qo‟shsak

p

p ²   ²
 ch t

kelib chiqadi.

a

p ²  a ²

 s in at va

p

p ²  a ²
 c o s at

bo‟lgani uchun siljish teoremasiga

asosan:

a

( p   ) ²

• 
  a ²
  

 e ^{  t} s in a t va

kelib chiqadi.

p  

( p   ) ²

• 
  a ²
  

 e ^{  t} c o s a t

Misol: 1) Tasviri
F ( p ) 

7

p ²  1 0 p  4 1

bo‟lgan

f _ t _

funksiya topilsin.

7 7  4

F ( p )  

; ^{f ( t ) }

⁷ _e  5 t
s in 4 t

p ²  1 0 p  4 1 4[( p  5 ) ²

 1 6 ] ⁴

2) F ( p ) 

p  3

p  3

 

p  1 2 3

 ;

p ²  2 p  1 0 ( p  1) ²

 9 ( p  1) ²  9

³ ( p  1) ²  9

f ( t )  e ^{ t} co s 3t  ² e ^{ t} s in 3t

3

4. Tasvirlarni differensiallash va integrallash

Teorema 1. Agar

F ( p ) 

f ( t )

bo‟lsa u holda

bo‟ladi.

Isbot.

f ( t )

 M e ^{S 0 t}

_d n

(  1) ⁿ F ( p ) 

dp ⁿ

bo‟lganda quyidagi

t ⁿ f ( t )

(1.2.1)



_ e ^{ p t} (  t ⁿ ) f ( t ) d t

0

integral mavjud ekanini isbot qilamiz. Shartga ko‟ra

f ( t )

 M e ^{S 0 t} , p

 a 

ib ,

a  S ₀ ,

a  0 ,

S ₀  0

Bunga asosan shunday

  0

topiladiki, bu uchun

a  S ₀  

tengsizlik bajariladi.

Shuning uchun quyidagi integral yaqinlashadi:



   _M

_ e ^{ ( a   ) t} f ( t ) d t  M

_{ e}  ( a   ) t _e S ₀ t <sub>d t  M

</sub> ed t  

endi
0 0 0

a  

0

• 
  S ₀
  

 

_ e ^{ p t} t ⁿ f ( t )

0

d t 

_{ e}  ( p   ) t _e   t _t n _{f ( t ) d t}

0

integralni ko‟ramiz; bundagi kichik, shuning uchun

_e   t _t n

funksiya chegaralangan va biror N sondan

  

_ e ^{ p t} t ⁿ f ( t )

0

d t  N _

0

_e  ( p   ) t _{f ( t )}

d t 

_{N  e}  ( a   ) t

0

f (t )

d t   .

Demak



_ e ^{ p t} (  t ) ⁿ

0
f ( t ) d t

yaqinlashadi. Bu integralni quyidagi



F ( p )  _

0
e ^{ pt} f ( t ) d t

^{integralning p -parametr bo‟yicha} n ^{- tartibli hosilasi deb qarash mumkin, yani}



_ e ^{ p t} (  t ) ⁿ
f ( t ) d t 

_d n

dp ⁿ



_ e ^{ p t} f ( t ) d t

0 0
oxirgi 2 tenglikdan :

_d n

(  1) ⁿ

dp ⁿ



F ( p )  _ e ^{ p t} t ⁿ f ( t ) d t

0

yoki

_d n

(  1) ⁿ

dp ⁿ
F ( p ) 
t ⁿ f ( t )

formula kelib chiqadi.

Bu formuladan
formulaga asosan:
f ( t )  t ⁿ

- darajali funksiyaning tasvirini topamiz: ¹  1

p

d

(  1)

^ 1 ^

 t

yoki ¹  t

^{dp  p } p ²

 

shunga o‟xshash

d ^ 1

(  1)



 t ²

yoki ¹  t

^{dp } p ^{2  p 3}

 

d

(  1)

 ₁ 

 ₃  ^

t ³ yo k i ³  t

4

^dp _ p _ p

                  

               

n

_p n  1
 t ⁿ

Misollar. 1)

a

p ²  a ²
 s in at

bo‟lgani uchun formulaga asosan

_d 

(  1) <sub>

a</sub> 

2 2 ^{ }

2 pa

2 2
 t s in a t

^dp _ p  a _
p

( p  a )

a ²  p ²

2) 

c o s at

dan   t c o s a t ;

p ²   ²

( p ²  a ² ) ²

3) ¹

p  

_{ e}   t

dan

1

( p   ) ²

_{ te}   t

Teorema 2. Agar

F ( p ) 


f ( t )

bo‟lsa, u holda:
f ( t )

_ F ( p ) d p 

₀ t

Haqiqatdan ham

f ( t )



t
Ô ( p )

yani
 Ô ^( p ) 

^{F ( p )} . Bu tenglikni hadlab



integrallash bilan Ô ( p )  _ F ( p ) d p

0

ni olamiz yoki



_ F ( p ) d p 

0

f ( t )

t

5.