1. Безнапорное движение жидкости. Особенности гидравлики безнапорных потоков

9 и 10. Интегрирование уравнения неравномерного движения для призматического русла при положительном, горизонтальном и отрицательном уклонах дна.

Интегрирование дифференциальных уравнений
неравномерного движения по методу Б. А. Бахметьева

Для построения кривой свободной поверхности проинтегрируем уравнение (10.8):

.
Преобразуем знаменатель этого уравнения. Так как , то получим
.
Используя соотношения
,
будем иметь
.
Обозначим

,

(10.14)

и знаменатель уравнения (10.8) примет вид
.
Подставляя его в уравнение, получим

.

(10.15)

Используем показательную зависимость Б. А. Бахметьева в виде (10.12)
.
Введем обозначение
,
величина называется относительной глубиной.
Из этого соотношения получим
.
Тогда уравнение (10.15) запишется в виде
.
Проинтегрируем полученное уравнение вдоль потока от сечения 1–1 до сечения 2–2, расположенного на некотором расстоянии от сечения 1–1 вниз по потоку. Будем отмечать гидравлические элементы сечения 1–1 индексом 1, элементы сечения 2–2 – индексом 2. В результате получим
.
Допустим, что величина j мало меняется с изменением глубины потока, специальные расчеты подтверждают это. Тогда скобку можно вынести за знак интеграла, приняв среднее значение величины j на расчетном участке. Это среднее значение величины j_ср можно вычислить по формуле
,
где j₁ и j₂ рассчитываются по формуле (10.14) соответственно для глубин h₁ и h₂.
Величину j_ср можно также рассчитать по формуле (10.14)
,
где величины вычисляются для глубины
.
Тогда интегрируемое уравнение можно записать как
.
Так как мы считаем для данного русла величину гидравлического показателя x постоянной, то подынтегральная функция этого уравнения зависит только от . Введем обозначение
,
где С – произвольная константа интегрирования.
Тогда окончательно получим уравнение кривой свободной поверхности в виде

.

(10.16)

Уравнение (10.16) называется уравнением Бахметьева для случая I₀ > 0.
Функции для различных значений и x вычислены и занесены в таблицы. Установив величину гидравлического показателя x для исследуемого русла по таким таблицам можно определить значения функций и для предварительно вычисленных и .
Пользуясь уравнением (10.16) можно решать следующие практические задачи:

• 
  задана глубина h₁ (или h₂), требуется определить глубину h₂ (или h₁) в сечении потока, расположенном на расстоянии от первого сечения;
  
• 
  заданы две глубины в разных сечениях: h₁ и h₂, требуется определить расстояние между этими сечениями;
  
• 
  задана глубина h₁ в некотором сечении, требуется построить кривую свободной поверхности.
  

Метод Б. А. Бахметьева, использующий показательную зависимость между глубинами и модулями расхода потока, можно применять и для расчета движения воды в русле с горизонтальным уклоном ( ) и в русле с обратным уклоном ( ).

Для течения в горизонтальном русле показательная зависимость записывается в виде

,

(10.17)

в котором действительные элементы потока h и K относятся к критическим элементам h _к и K _к.
Для русел с обратным уклоном показательную зависимость запишем так:

.

(10.18)

Здесь – модуль расхода, отвечающий некоторой воображаемой нормальной глубине , которая получается, если представить, что при заданном расходе Q вода движется по уклону, т. е. в обратную сторону относительно действительного течения, причем в русле установился равномерный режим.
Используя зависимости (10.17) или (10.18) и проведя преобразования, аналогичные вышеизложенным, получаем уравнения Б.А.Бахметьева для случаев горизонтального русла и русла с обратным уклоном.