1. avtonom sistemalar 1-ta’rif

2. CHIZIQLI O‘ZGARMAS KOEFFITSIYENTLI BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI MUVOZANAT (MAXSUS) NUQTASINING KLASSIFIKATSIYASI

Ushbu

(1)

o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda haqiqiy sonlar -erkli o‘zgaruvchi, -noma’lum vektor funksiya. Ko‘rinib turibdiki, (1) -avtonom sistema. Berilgan differensial tenglamalar sistemasining koeffitsiyentlaridan

matritsa tuzib olamiz.

1.-ta’rif. Agar - xosmas matritsa bo‘lsa, u holda (1) sodda sistema, aks holda murakkab sistema deyiladi.

Avvalo (1) sodda sistemani ushbu

. (2)

boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi ya’ni ekanligi ravshan. Bundan tashqari (1) sodda avtonom sistemaning muvozanat (maxsus) nuqtasi ushbu tenglamadan aniqlanar edi. matritsa xosmas bo‘lgani uchun, undan , ya’ni kelib chiqadi. Bundan buyon muvozanat nuqtani turg‘unlikka tekshiramiz va sodda avtonom sistema trayektoriyalarini o‘rganamiz.

Berilgan (1) sistemaning umumiy yechimini topish uchun matritsaning xos qiymatlarini va xos vektorlarini topamiz. Buning uchun ushbu

tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani koordinatalarda yozib,

bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Ma’lumki, bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun

bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan ushbu

ya’ni

. (3)

kvadrat tenglama kelib chiqadi. Ko‘rinib turibdiki, soni bu kvadrat tenglamaning ildizi bo‘lmaydi. Chunki . matritsaning -xos qiymatlari (3) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan iborat bo‘lishi ma’lum. Quyidagi hollarni o‘rganamiz.

1-hol. matritsaning xos qiymatlari haqiqiy va har xil bo‘lsin. Bu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlarni deb belgilaylik. U holda

va

sistemalarga ega bo‘lamiz. Berilgan (1) avtonom sistemaning umumiy yechimi ushbu

(4)

ko‘rinishda bo‘lishini oldingi paragraflarda ko‘rgan edik. -xos vektorlar fazoning bazis vektorlaridan iborat bo‘lib, ular umuman olganda ortogonal emas. Agarda va orqali nuqtaning bazisdagi koordinatalarini belgilasak, u holda ushbu yoyilmadan va (4) formuladan -yechimning koordinatalari

ko‘rinishni oladi.

Aytaylik, va bo‘lsin. U holda muvozanat nuqtani ifodalaydi. (4) umumiy yechimni tarkibida hadlar qatnashganligi uchun, ushbu

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Shuning uchun muvozanat (maxsus) nuqta asimptotik turg‘un bo‘ladi. Bu holda -muvozanat (maxsus) nuqtaga turg‘un tugun deyiladi.

Agar bo‘lsa bo‘lib, da bo‘ladi. Agar bo‘lsa bo‘lib, da bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda dan ni aniqlaymiz va

ko‘rinishda bo‘lishini topamiz. Bunda ushbu

belgilashni kiritsak, quyidagi

tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu esa parabolani ifodalovchi egri chiziqlar oilasidir. Bunda quyidagi

munosabat o‘rinli. Demak, trayektoriyalar parabola shoxchalaridan iborat bo‘lib, o‘qqa koordinata boshida urinadi. Parabolani ifodalovchi egri chiziqlarni ikki to‘g‘ri chiziq ajratib turadi. Ulardan biri , ya’ni

.

Ikkinchisi esa to‘g‘ri chiziqdir. 1-chizmaga qarang