1. Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida. Aniq integralning ta’rifi va uning geometrik ma’nosi. Aniq integralning asosiy xossalari

1.Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash funksiya grafigi, ikkita to‘g‘ri chiziqlar va o‘qi bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapesiya deyiladi. Bunday egri chiziqli trapesiyaning yuzi

(1)

formula bilan hisoblanadi (1-chizma)

Umumiy hol, ya’ni chiziqlar bilan chegaralangan yuza

(2)

aniq integralga teng bo‘ladi .

chiziqlar bilan chegaralangan yuza

(3)

aniq integral bilan hisoblanadi.

Egri chiziq parametrik

tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuza

(4)

formula bo‘yicha hisoblanadi.

4-misol. chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang

Yechish. bo‘lib, (3) formulaga asosan,

5-misol. chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping.

Yechish:

tenglamalar sistemasidan kesishish nuqtalarining abssissalari bo‘lib, bu yuza

=

bo‘ladi.

6-misol. Ellipsning

parametrik tenglamasidan foydalanib uning yuzini toping.

Yechish. Ellips koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrikligidan foydalanib, hamda tenglamada bo‘lganda , bo‘lganligini hisobga olib,

2. Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. To‘g‘ri burchakli koordinatlar sistemasida kesmada silliq (ya’ni hosila uzluksiz) bo‘lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi

(5)

formula yordamida hisoblanadi.

Egri chiziq parametrik tenglama

bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi

aniq integral bilan hisoblanadi.

Silliq egri chiziq qutb koordinatalarida tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yoy uzunligi

(6)

formula bilan hisoblanadi.

7-misol.

astroida yoyining uzunligini toping.

Yechish: Astroida koordinat o‘qlariga nisbatan simmetrik bo‘lganligi uchun 1/4 yoy uzunligini topamiz.

Oshkormas funksiya hosilasiga asosan

bundan, Yoy uzunligi formulasiga asosan,

3. Aylanma jism hajmini hisoblash

chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

(7)

aniq integral bilan hisoblanadi.

chiziqlar bilan chegaralangan figuraning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi

(8)

formula bilan hisoblanadi.

8-misol. parabola, to‘g‘ri chiziq va o‘qi bilan chegaralangan figuraning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.

Yechish. Masala shartiga ko‘ra o dan 3 gacha o‘zgaradi. Demak,

.

9-misol. ellipsning o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.

Yechish. Bunday jismga aylanma ellipsoid deyiladi. Ellips tenglamasidan

bo‘lib, integralning chegaralari bo‘ladi. (8) formulaga asosan,

Demak,

bo‘lsa, shar hosil bo‘lib bo‘ladi.