1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

b


a


b


a





B
b

a

a

b
uning uchun tomoni berilgan to‘g‘ri burchakli uchburchak katetlari yig‘in- disi (a + b) ga teng bo‘lgan ikkita kvadrat yasaymiz. Kvadratlarni 174- rasmda ko‘rsatilgan usul bilan to‘g‘ri burchakli uchburchaklar va kvadratlarga ajratib chiqamiz. Chizmalardan birinchisida hosil bo‘lgan to‘rtburchak kvadrat ekanini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, avvalo bu to‘rtburchak romb, chunki uning tomoni katetlari a va b bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi c ga teng. Chizmadagi x burchakning kattaligini topish uchun Zx + Z1 + Z3 = 180°, Z3 = Z2 va Z1 = 90° -Z2 ekanini e’tiborga olib topamiz: Zx = 90°. Ma’lumki, to‘g‘ri burchakli romb — kvadratdir.
Qaralayotgan ikkala kvadrat tengdosh. Shuningdek, birinchi kvadrat yuzi 4£_д + c⁹ ga teng, ikkinchi kvadratning yuzi 4£_д + a² + b² ga teng. Shuning uchun
4£_д + с² = 4S_a + a² + b².
Demak,
с² = a² + b².
Teorema isbotlandi.
Savol, masala va topshiriqla

r

365. 
     To‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi c = 25 va kateti a = 7 ga teng. Gipotenuzaga tushirilgan balandlikni toping.
     

Yechilishi. 1) To‘g‘ri burchakli uchburchakning ikkinchi kateti b bo‘lsin, u holda Pifagor teoremasiga ko‘ra:
b = ylc² - ...² = V...² - 7² = V625 -... = VI = ....

2. 
   To‘g‘ri burchakli uchburchakning yuzi S = 2 a ... ga, ikkinchi to-
   

mondan esa S = 2 c ... ga teng, shuning uchun a... = c... va bundan,
_a • • 24
h_c = —... = ... = ... . Javob : ... kv. birlik.
^c c ...

365. 
     To‘g‘ri burchakli trapetsiyaning asoslari 9 sm va 18 sm, katta yon to- moni esa 15 sm ga teng. Trapetsiyaning yuzini toping.
     
366. 
     A
     29- mavzu.
     BCD to‘g‘ri to‘rtburchakda: 1) agar AB = 15 va AC = 39 bo‘lsa, AD ni;
     

2. 
   agar CD = 2,5 va AC = 6,5 bo‘lsa, BC ni toping.
   

PIFAGOR TEOREMASINING BA’ZI NATIJALARI. PIFAGOR TEOREMASIGA TESKARI TEOREMA

1. 
   Pifagor teoremasining ba’zi natijalari. Pifagor teoremasining natijalari ichidan ikkitasining isbotini ko‘rib chiqamiz.
   

1. 
   natija. To‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlardan istalgani gipo- tenuzadan kichikdir.
   

Isbot. A ABC — to‘g‘ri burchakli, unda ZC = 90° bo‘lsin (175- rasm).
To‘g‘ri burchakli uchburchakning istalgan kateti gipotenuzasidan kichik bo‘lishini isbotlaymiz.
H aqiqatan ham, Pifagor teoremasiga ko‘ra katet- lar uchun:
AC² = AB² - BC² va BC² = AB² - AC²
munosabatlar o‘rinli. Bundan
AC ²< AB² va BC ²< AB²
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, AC < AB va BC < AB.
Xulosa. Agar l to‘g‘ri chiziq va unda yotmagan A nuqta berilgan bo‘lsa, A dan l to‘g‘ri chiziqqacha eng qisqa masofa A dan l ga tushirilgan perpendikular bo‘ladi (176- rasm).
H
W
aqiqatan ham, har qanday B e l uchun AACB — to‘g‘ri burchakli hamda AC katet va AB gipotenuza bo‘ladi. Shuning uchun har doim AB > AC.
Tog W burchakli uchburchakning istalgan kateti gipotenuzadan kichik

.

2. 
   n atija. (Gipotenuzasi va bir katetiga ko‘ra tenglik alomati.) To‘g‘ri bur- chakli bir uchburchakning gipotenuzasi va bir kateti ikkinchi to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va bir katetiga mos ravishda teng bo‘lsa, bunday uchburchaklar teng bo‘ladi.
   

Isbot. To‘g‘ri burchakli ABC va ABC uchburchaklarda gipotenuzalari (c = c_x) va katetlaridan bin (a = a_x) teng bo‘lsin (177-rasm). b² = c² - a² va
b² = cj² - a² ekanidan, b² = b² kelib chiqadi. Shuning uchun b = b₁ bo‘ladi. Shunday qilib, uchburchaklar tengligining uchinchi alomatiga ko‘ra, ABC va A₁B₁C₁ uchburchaklar teng ekan.

2. 
   Pifagor teoremasiga teskari teorema.
   

T eorema.
Agar uchburchakda tomonlardan birining kvadrati uning qolgan ikki to- moni kvadratlarining yig‘indisiga teng bo‘lsa, u holda uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi.
Isbot. ABC uchburchakda AB² = AC² + BC² bo‘lsin. ZC = 90° ekanini isbotlaymiz (178- rasm).
C₁ burchagi to‘g‘ri bo‘lgan yordamchi to‘g‘ri burchakli A₁B₁C₁ uchburchakni ko‘rib chiqamiz, unda A₁C₁ = AC va B₁C₁ = BC. Pifagor teoremasiga ko‘ra,
A₁ Bj = A₁ Cj + B₁ Cj va demak, A₁ Bj = AC² + BC².
A mmo teorema shartiga ko‘ra,
AB² = AC² + BC² va demak, A₁B² = AB².
Bundan topamiz: A₁B₁ = AB. Shunday qilib,
ABC va A₁B₁C₁ uchburchaklar uch tomoniga ko‘ra teng. Shuning uchun ZC =ZC₁, ya’ni ABC uchburchakning C uchidagi burchagi to‘g‘ri burchak ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Masala. Agar uchburchakning tomonlari: 1) a = 5, b = 11, c = 12;

2. 
   а = л/85, b = 7, c = 6 bo‘lsa, u to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘ladimi? Yechilishi. 1) Ikkita kichik tomoni kvadratlari yig‘indisini hisoblaymiz:
   

52. 
    + 11² = 25 + 121 = 146.
    

Katta tomoni kvadratini hisoblaymiz: 12² = 144

.


Olingan natijalarni taqqoslasak, a² + b² Ф c² munosabat kelib chiqadi. Va demak, uchburchak to‘g‘ri burchakli emas ekan.
Javob: a = 5, b = 11 va c = 12 bo‘lganda, uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lmaydi.

2. 
   Ikkita kichik tomoni kvadratlari yig‘indisini hisoblaymiz:
   

7² + 6² = 49 + 36 = 85.
r— 2
Katta tomoni kvadratini hisoblaymiz: (85) = 85 .
Demak, 85 = 85 — o‘rinli. Natijada b² + c² = a² ga ega bo‘lamiz. Bundan uch­burchakning to‘g‘ri burchakli ekani kelib chiqadi.
Javob: a = 785 , b = 7 va c = 6 bo‘lganda uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi.