1.2-mavzu. Guruhlashlar va ularning xossalari
Ta’rif 1.3
. Agar
n
ta elementdan
m
tadan tuzilgan birlashmalar hech boʻlmasa
bitta element bilan farqlansa, u holda bunday birlashmalar
n
elementdan
m
tadan
tuzilgan kombinatsiya (guruhlash) deb ataladi.
Masalan. 3 elementdan (
a
1
, a
2
, a
3
) mumkin boʻlgan 2 tadan kombinatsiya
tuzamiz:
.
,
,
3
2
3
1
2
1
a
a
a
a
a
a
Berilgan
n
ta elementdan
m
tadan tuzilgan kombinatsiyalar (guruhlashlar)
sonini
C
harfi fransuzcha “
combination
” soʻzining bosh harfidir.
Teorema 1.3
.
n
elementdan
m
tadan tuzilgan kombinatsiyalar (guruhlashlar)
soni
m
m
n
m
n
P
A
C
=
(1.9)
formula yordamida hisoblanadi.
Isbot.
n elementdan m tadan tuzish mumkin boʻlgan kombinatsiyalarni bir
satrga yozamiz.
Har qaysi kombinatsiya ostiga tuzish mumkin boʻlgan barcha m elementdan
oʻrinalmashtirishlarni yozamiz (m ta elementdan). U holda biz birlashmalar
jadvalini hosil qilamiz. Bu birlashmalar
m
n
C
ustun va
m
P
qatorlardan tashkil topilgan.
n ta elementdan m tadan tuzilgan toʻplam oʻrinlashtirishlarning umumiy sonini
beradi, ya`ni jadvaldan olingani. Shunday qilib,
m
n
m
m
n
A
P
C
=
bu yerdan (1.9) ni hosil qilamiz.
Bu muhokamani keyingi misolimizda qoʻllashimiz mumkin.
4
3
2
1
,
,
,
a
a
a
a
elementlarni olamiz va mumkin boʻlgan 3 tadan kombinatsiyani tuzamiz:
3
3
4
2
4
3
1
4
2
3
1
4
1
3
2
3
2
4
2
1
4
1
4
3
2
1
3
2
3
4
2
4
1
3
4
1
2
3
1
3
4
2
1
2
4
1
3
4
1
2
3
4
2
3
4
1
2
4
1
3
3
1
2
4
3
2
4
2
1
4
3
1
3
2
1
P
C
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
jadvaldan koʻrinib turibdiki,
,
24
3
3
4
3
4
=
=
P
C
A
4
6
24
3
3
4
3
4
=
=
=
P
A
C
kombinatsiyalar quyidagi xossalarga ega:
1)
!
)!
(
!
m
m
n
n
P
P
P
C
m
m
n
n
m
n
−
=
=
−
(1.10)
Haqiqatan ham (1.9), (1.8) va (1.4) formulalardan quyidagilarni hosil qilamiz:
(
)
(
1) ....2 1
1 2 ...
(
) (
)
(
1) ...( 1)
( 1)....(
(
))
!
1 2 ....
(
)
(
) ....2 1
1 2 ... (
)
1 2 ...
(
)! !
m
n
n
n
m
n m m
n m n m
n n m
n m n m
n
n
n n
n n m
n
m
n m n n m
n m
m
n m m
A
P
С
P
P P
−
−
− +
− −
−
− −
−
−
− −
=
=
−
− −
−
−
=
=
=
2)
m
n
n
m
n
C
С
−
=
(1.11)
(11) ni hosil qilish uchun (10) dagi m oʻrniga n-m ni qoʻyish mumkin.
3) Hisoblash asosida biz
,
1
n
C
n
=
,
1
=
n
n
С
,
1
0
=
n
C
1
1
1
−
−
−
+
=
k
n
k
n
k
n
C
C
C
(1.12)
larni hosil qilamiz.
4) Quyidagi ayniyat oʻrinlidir:
1
1
1
...
+
+
−
+
+
=
+
+
+
k
m
k
k
m
k
k
k
k
k
C
C
C
C
(1.13)
Isbot.
(1.12) ning xossasidan foydalanib quyidagi ayniyatlarni yozamiz:
1
1
1
1
1
3
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
.........
..........
..........
+
+
+
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
k
m
k
k
m
k
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Bu ayniyatlarni e’tiborga olsak, biz (1.13) ayniyatni hosil qilamiz.
5) Quyidagi ayniyat oʻrinlidir
1
1
1
1
1
0
....
−
+
−
−
+
+
=
+
+
+
m
m
k
m
m
k
k
k
C
C
C
C
(1.14)
Bu ayniyat (1.11) va (1.13) lardan kelib chiqadi.
6) Arifmetik uchburchak.
(1.12) formula
k
n
С
ning qiymatini hisoblashda yordam beradi, bunda
k
n
C
1
−
va
1
1
−
−
k
n
C
qiymatlari ma’lum deb qaraladi. Hisoblashni quyidagi koʻrinishda
yozish qulay:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………..…………………..
……………….…….…………..
Bu jadvalning n+1 ustunida
n
n
n
n
C
C
C
,...
,
1
sonlar tartib bilan joylashgan. Shu bilan birga
1
0
=
=
n
n
т
С
С
.
Qolgan sonlar (1.12) formula bilan topiladi.
Bu jadval
1
1
−
−
k
n
C
va
k
n
C
1
−
sonlar
k
n
C
son turgan qatordan yuqorida joylashgan
boʻlib
k
n
C
sonni hosil qilish uchun oʻzidan bitta yuqoridagi qatordagi chapda va
oʻngda turuvchi sonlarni qoʻshish kifoya.
Masalan beshinchi qatordagi 4 va 6 ni qoʻshish natijasida, oltinchi qatordagi
10 sonni hosil qilamiz.
Bunday jadval matematiklar tomonidan yaratilgan boʻlib, bunda Ulugʻbek
observatoriyasida ishlagan (Samarqand shahrida) Gʻiyosiddin Koshiy (1420 yillar
atrofida), shoir va matematik Umar Hayyom (1040-1123). Italiyalik matematik
Nikolayu Tartale (1500-1557), Fransiya matematigi va fizigi Blez Paskal (1623-
1662) lar oʻz ishlarida keng foydalangan.
