1-§. Умумий қўйилган Коши масаласи

1-§. Умумий қўйилган Коши масаласи
D орқали ўзгарувчилар текислигида чегара бўлаклари силлиқ S Жордан чизиғидан иборат бўлган соҳани белгилаймиз.
Фараз қилайлик, функция D соҳада


(1)

тенгламанинг регуляр ечими бўлиб, да биринчи тартибли узлуксиз ҳосилаларга эга бўлсин.

Ушбу

айниятни D соҳа бўйича интеграллаб, Гаусс- Остроградский формуласини қўллаймиз:

(2)

Ф араз қилайлик, L - ёпиқ бўлмаган силлиқ Жордан чизиғи бўлиб, қуйидаги икки шартни қаноатлантирсин:

3-чизма
а) (1) тенгламанинг характеристикалар оила-сига тегишли бўлган ҳар бир тўғри чизиқ L билан битта нуқтада кесишсин;
б) L эгри чизиққа ўтказилган уринманинг йўналиши ҳеч бир нуқтада (1) тенглама характеристикаларининг йўналиши билан устма-уст тушмасин.
Ихтиёрий нуқтадан чиқадиган характеристикалар L эгри чизиқ билан A ва B нуқталарда кесишсин (3-чизма).
(2) формулани AB эгри чизиқ, CA ва CB характеристикалар билан чегараланган соҳада қўллаб, ушбу тенгликни ҳосил қиламиз.
.


CA ва BC да, мос равишда, ва бўлгани учун аввалги тенглик қуйидаги кўринишда ёзилади:


.

Бундан дарҳол

(3)

тенгликка эга бўламиз.

Агар (1) тенгламанинг ечими


(4)

шартларни қаноатлантирса, бунда ва берилган, мос равишда икки ва бир марта узлуксиз дифференциалланувчи функциялар, _l эса L да берилган йўналиш бўлиб, L нинг уринмаси билан устма-уст тушмайди, у ҳолда номаълум функцияларни

тенгликлардан аниқлаб оламиз, бу ерда s – L чизиқ ёйининг узунлиги.

Маълум u, миқдорларни (3) тенгликнинг ўнг томонига қўйиб, (1) тенгламанинг (4) шартларни қаноатлантирувчи ечимини ҳосил қиламиз. Юқорида юритилган мулоҳазалардан шу нарса келиб чиқадики, Коши масаласи келтирилган қўйилишда бирдан-бир турғун ечимга эгадир.
Одатда (1), (4) масала тор тебраниш тенгламаси учун умумий қўйилган Коши масаласи дейилади.