1 – topshiriq. Berilgan savollarga yozma tarzda javob tayyorlang. Ayirmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Matematik induksiya metodini o’rgatish. Nomanfiy butun sonlar to`plamini to`plamlar nazariyasi asosida qurish

2-variant.
1 – topshiriq. Berilgan savollarga yozma tarzda javob tayyorlang.

1. Ayirmaning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi.

2. Matematik induksiya metodini o’rgatish.

3. Nomanfiy butun sonlar to`plamini to`plamlar nazariyasi asosida qurish, Natural son va nol tushunchasi.

1.1 Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb, n(A) = a, n(B) = b va B⊂A shartlar bajarilganda, B to’plamni A to’plamgacha to’ldiruvchi to’plam elementlari soniga aytiladi. a - b = n( ), bu yerda a = n(A),b = n(B), B⊂A.

Miso1. Berilgan ta’rifdan foydalanib, 7-4 = 3 bo’lishini tushuntiramiz. 7 — biror A to’plamning elementlari soni, 4 — shu A to’plamning qism to’plami bo’lganB to’plamning elementlari soni bo’lsin. Masalan: A = {x; y; z; t; p; r,s}, B = {x; y; z; t} to’plamlarni olaylik. B to’plamning A to’plamgacha to’ldiruvchisini topamiz: ( ) = {p; r; s}, n( ) = 3. Demak, 7-4 = 3 bo’lar ekan. a - b ayirma n(A) = a, n(B) = b va B⊂A shartlarni qanoatlantiruvchi A va B to’plamlarning tanlanishiga bog’liq emas.

a = n(A), b = n(B) va B⊂Abo’ladigan butun nomanfiy a va b sonlar berilgan bo’lsin va bu sonlarning ayirmasi B to’plamning A to’plamgacha toidiruvchisidagi elementlar soni bo’lsin, ya’ni a - b = n( ).

Eyler doiralarida A, B, A\B to’plamlar rasmda ko’rsatilganidek tasvirlanadi. A = B∨  ekani ma’lum, bundan n(A)=n(B∪ ). B∩  = 0 bo’lgani uchun biz a = n(A)= n(B∪ )= n(B) +n( ) = b + (b-a) ga ega bo’lamiz. Bu esa ayirmaga boshqacha ta’rif berish imkonini beradi.

9-ta’rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb shunday butun nomanfiy c songa aytiladiki, uning b son bilan yig’indisi a songa teng bo’ladi: a-b = c⇔a = b + c.

Shunday qilib, a - b = c yozuvda a — kamayuvchi, b — ayriluvchi, c — ayirma deb ataladi. Ayirish amali qo’shishga teskari amaldir. Ayirmaning ikkinchi ta’rifidan kelib chiqib, quyidagi teoremalarni isbotlaymiz:

1-teorema. Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi b≤a bo’lganda va faqat shunda mavjud bo’ladi.

Isbot. Agar a - bbo’lsa, u holda a - b = 0 bo’ladi va, demak, a - b ayirma mavjud bo’ladi.

Agar b < abo’lsa, u holda «kichik» munosabati ta’rifiga ko’ra shunday natural son mavjud bo’ladiki, bunda a = b + cbo’ladi. U holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra c = a - b, ya’ni a - b ayirma mavjud bo’ladi. Agar a - b ayirma mavjud bo’lsa, u holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra shunday butun nomanfiy c son topiladiki, a = b + cbo’ladi. Agar c = 0 bo’lsa, u holda a = bbo’ladi; agar c > 0 bo’lsa, u holda «kichik» munosabatining ta’rifiga ko’ra b < a bo’ladi. Demak, b≤a.

2-teorema. Agar butun nomanfiy a va b sonlarining ayirmasi mavjud bo’lsa, u holda u yagonadir.

Isbot.a-b ayirmaning ikkita qiymati mavjud bo’lsin deb faraz qilaylik: a - b = c₁ va a - b = c₂ U holda ayirmaning ta’rifiga ko’ra a = b + c₁ va a = b + c₂ ga ega bo’lamiz. Bundan b + c₁ = b + c₂ va, demak c₁ = c₂ ekani kelib chiqadi.

3. Yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish qoidalarining to’plamlar nazariyasi bo’yicha ma’nosi. Yig’indidan sonni ayirish qoidasi: yig’indidan sonni ayirish uchun yig’indidagi qo’shiluvchilarning biridan shu sonni ayirish va hosil bo’lgan natijaga ikkinchi qo’shiluvchini qo’shish yetarli. Bu qoidani simvollardan foydalanib yozamiz.

Agar, a, b, c — butun nomanfiy sonlar bo’lsa, u holda:

1. a>c bo’lganda (a + b) - c = (a - c) + b bo’ladi;

   
   

2. b> c bo’lganda (a + b) - c = a + (b - c) bo’ladi;

   
   

d) a>c va b>c bo’lganda yuqoridagi formulalarning ixtiyoriy bittasidan foydalanish mumkin.

a≥c bo’lsin, u holda a - c ayirma mavjud bo’ladi. Uni p orqali belgilaymiz: a - c = p. Bundan a = p + c chiqadi. p + c yigindini (a + b) - c ifodadagi a ning o’rniga qo’yamiz va uni shakl almashtiramiz:

(a + b)-c=(p + c + b)-c = p + b + c- c = p + b.

Biroq p harfi orqali a - c ayirma belgilangan edi, demak, botlanishi talab etilgan (a + b) - c = (a - c) + b ifodaga ega bo’lamiz.

Sondan yigindini ayirish qoidasi: sondan sonlar yig’indisini ayirish uchun bu sondan qo’shiluvchilarning birini, ketidan ikkinchisini ketma-ket ayirish yetarli, ya’ni agar a, c, b — butun nomanfiy sonlar bo’lsa, u holda a> b + c bo’lganda a - (b +c) = (a - b) - c ga ega bo’lamiz.

1.2 Induktiv usul mаtemаtikаdа qаdim zаmonlаrdаn qo‘llаnilаdi. Аk-sаr hollаrdа nаtijа xаto bo‘lib chiqаdi. XVII аsrning o‘rtаlаrigа kelib, bundаy noto‘g‘ri mulohаzаlаr ko‘plаb yig‘ilib qolаdi. Ilmiy аsoslаngаn usullаrni qo‘llаsh tаlаbi borgаn sаri oshib borаr edi. Bundаy usul ishlаb chiqildi (Pаskаl 1623-1662, Dekаrt, Yakov Bernulli 1654-1705) Bu usul mаtemаtik induksiya usuli deyilаdi.Yuqoridagi misollarni tahlil qilish natijasida ushbu savol tug’uladi. Bir qan- cha xususiy hollarda to’g’ri bo’lgan biror tasdiq berilgan bo’lsin. Bu tasdiq- ning to’g’riligini ko’rsatuvchi barcha cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqish inson qo’lidan kelmaydi (barcha natural sonlar uchun chiqarilgan tasdiqlar shular jumlasidandir). Xususiy arame cheksiz ko’p bo’lgani uchun to’la induksiyani qo’llash imkoniyatiga ega emasmiz, xususiy hollarga asosla- nib chiqarilgan tasdiq esa xato bo’lishi mumkin. Bu savolga, ba’zi hollarda, matematik induksiya metodi deb ataluvchi alohida mulohaza yordamida ja- vob beriladi.Induksiya yordamida biror A(n) gigoteza bayon etilgan bo’lib, bu muloha- zaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo’lsin hamda A(n) mulohazaning to’g’riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko’- rishning iloji bo’lmasin.
A(n) mulohaza, matematik intuksiya prinsipiga asosan quyidagicha isbotlanadi. Bu tasdiqning to’g’riligi, asosan, n=1 uchun tekshiriladi. So’ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib, uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng A(n) tasdiq barcha n (n€N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi. Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1da rost bo’lsa, u navbatdagi n=1+1=2 son uchun ham rost bo’ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o’z navbati- tural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o’rinli- dir.

Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinspni ifodalaylik:

1. 
   
   n=1 da A(n) mulohaza rostligi tekshiriladi;
   
2. 
   
   n=k daA(n) mulohaza rost bo’lsin deb faraz. N=n+1 uchun A(n)
   

mulohazaning rostligi, ya’ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so’ng,

1.3 Nomanfiy butun son￾lar to'plamini to'plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda

G. Kantor tomonidan to'plamlar nazariyasi yaratilgandan so'ng

mumkin bo'ldi. Bu nazariya asosida chekli to'plam va o'zaro bir

qiymatli moslik tushunchalari yotadi.

1 -ta ’ r i f. Agar A va В to ‘plamlar orasida о ‘zaro bir qiymatli

moslik o ‘rnatish mumkin bo'lsa, bu to'plamlar teng quvvatli deyi￾ladi. A ~ В kо ‘rinishda yoziladi.

«Teng quwatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo'lgani

uchun u ekvivalentlik munosabati bo'ladi va barcha chekli

to'plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli

elementli to'plamlar yig'ilgan bo'lib, ularning umumiy xossasi

teng quvvatli ekanligidir.

2-t a ’ r i f. Natural son deb, bo ‘sh bo ‘Imagan chekli teng quvvatli

to ‘plamlar sinfining umumiy xossasiga aytiladi.Har bir ekvivalentlik sinfming umumiy xossasini uning biror to‘plami to'la ifodalaydi. Har bir sinf xossasini ifodalovchi natural son alohida belgi bilan belgilanadi. A to‘plam bilan aniqlanadigan a son shu to‘plamning quvvati deyiladi va a = n(A) deb yoziladi.Masalan, 3 soni uch elementli to'plamlar sinfming umumiy xossasini bildiradi va u bu sinfning istalgan to‘plami bilan aniqlanadi. 3 natural sonini ekvivalent to‘plamlar sinfming^ = {a;b\ 5}, B = {qizil, sariq, yashil}, C = {□; V; 0} kabi vakillarini,

ko‘rsatish bilan aniqlash mumkin.A(n) mulohoza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.Matematik indukssiya pirinspiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi. Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko’rsatilgan 1 va 2 punktlarning har birini tek-shirish juda muhimdir.

Natural son deb sanash (sanoq) uchun ishlatiladigan sonlarga aytiladi. Natural sonlar to'plami {\displaystyle \mathbb {N} }  harfi bilan belgilanadi. 2] Natural sonlar qatori cheksizdir. Natural sonlar qatori: 1,2,3,4,5,6,7... [ 0(nol) natural son emas]. 3] Natural sonlar ustida amallar. Natural songa natural son qo'shilsa natija har doim natural son bo'ladi. 12+9=21Bunda 12 soni 1-qo'shiluvchi, 9 soni 2-qo'shiluvchi, 21 soni yig'indi deyiladi. Natural sondan natural son ayrilsa natija natural son bo'lish ham mumkin, natural son bo'lmasligi ham mumkin. 14-6=8. 11-34=-23 Bunda 14(va 11) soni kamayuvchi, 6( va 34) soni ayriluvchi, 8(va -23) soni ayirma deyiladi.