1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

2. Akslantirishlar. va to’plamlar berilgan bo’lsin. Agar ma’lum bir qoida bo’yicha to’plamning har bir elementiga to’plamning biror elementi mos qo’yilgan bo’lsa, to’plam to’plamga aks ettirilgan deyiladi va bu akslantirish

(1)

shaklda yoziladi.

Agar sifatida haqiqiy sonlar to’plami olinsa, u holda (1) akslantirishni to’plamdagi funksiya deyiladi. (1) akslantirishdagi elementga mos keluvchi elementga elementning obrazi deyiladi.

Ta’rif. to’plamning akslantirishdagi obrazi deb, to’plamga aytiladi va u kabi, to’plamning akslantirishdagi asli deb, to’plamga aytiladi va kabi belgilanadi.

Teorema. va to’plamlar yig’indisining (ko’paytmasining) asli shu to’plamlar aslilarining yig’indisiga (ko’paytmasiga) teng, ya’ni

.

5-misol. Haqiqiy sonlar o’qida funksiya berilgan. to’plamning aslini toping.

Ta’rifga ko’ra bo’lgani uchun

.

6-misol. funksiya berilgan. to’plamni aslini toping.

Ta’rifga ko’ra

Quyidagi hollarni ko’rib chiqamiz:

1. 
   to’plamda tengsizlikni yechamiz. Bu tengsizlikning chap qismi doim o’rinli bo’lgani uchun uning o’ng qismini yechamiz. . Bu tengsizlikni oraliqlar usulida yechsak, bo’ladi. Bundan esa bo’lishi kelib chiqadi.
   

2) kesmada tengsizlikni yechamiz:

Demak, .

7-misol. kesmada funksiya berilgan. to’plamning aslini toping.

Buning uchun quyidagi hollarni ko’rib chiqamiz:

1) agar bo’lsa, u holda bo’ladi.

2) agar bo’lsa, u xolda tengsizlikni yechamiz. Uni kesmadagi yechimi iborat bo’ladi.

3) agar bo’lsa, bo’ladi.

Demak, .

4-rasm.

3-mashq. Quyidagi funksiyalar va parametrning berilgan qiymatlari uchun to’plamning aslini toping.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9.

3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15.

2-§. To’plamlarning ekvivalentligi. Kantor-Bernshteyn teoremasi.
Ushbu mavzuga doir misollarni yechish uchun to’plamlarni ekvivalentligi, sanoqli va sanoqsiz to’plamlar, to’plamlarning quvvati kontinium quvvatli to’plam kabi tushunchalarni bilish lozim. Bu kabi muhim tushunchalarni [1] va [2] adabiyotlarning tegishli boblaridan o’qishni tavsiya qilamiz.

1-ta’rif. Agar va to’plamlar orasida o’zaro bir qiymatli akslantirish mavjud bo’lsa, u holda bu to’plamlar ekvivalent yoki teng quvvatli to’plamlar deyiladi va ~ kabi belgilanadi.