1-§. Sirkul va chizg’ich yorlamida yasashga doir masalalar yasash pastulatlari…

Paskal teoremasi:
Kvadrikaga ichki chizilgan olti uchlikning qarama-qarshi tomonlari uch nuqtada kesishib, ular bir to’g’ri chiziqda yotadi. Bu to’g’ri chiziq paskal to’g’ri chizig’i deyiladi.

Isboti: Faraz qilaylik (_, A₁A₂ ) (A _{4 ,}A₅ ) = Р , (A₂ A₃) (A _5, A₆) = R
(A_3, A₄) (A_6, A₁) = Q olti uchlik kvadrikaga ichki chizilgan markazilari
A₁ (A₁ A_2, A ₁A₄ , A ₁A₅ ) A ₃(A₃A₂, A₃A₄, A₃A₅ ) . A₁ markazli dastani (A₄A₅) to’g’ri chiziq bilan kesib, A₄,P,C, A₅ nuqtalarni hosil qilamiz.
A₃ markazli dastani (A₆A₅) to’g’ri chiziq bilan kesib D, R, A₆, A₅ nuqtalarni hosil qilamiz. Proyektiv almashtirishda

(A₄A₅) (A₅A₆) = A₅, ya’ni A₅ nuqta o’z - o’ziga o’tadi. Demak, (A₅ A₆) va (A₄ A₅) to’g’ri chiziqlar perpendikulyardir. Proyektiv qatorlarning mos nuqtalarini birlashtiruvchi CA₆, A₄D, PQ to’g’ri chiziqlari bir R nuqtadan o’tadi. Demak, P,Q,R mos tomonlarning kesishgan nuqtalari bir to’g’ri chiziq P da yotadi.
Paskal’ teoremasidan foydalanibb Papp isbotlagan teoremani keltiramiz. Teorema: Ikkita s,t to’g’ri chiziqlar berilgan bo’lib, birinchi to’g’ri chiziqda A₁, A₃, A₅ nuqtalar, ikkinchi to’g’ri chiziqda A₂, A₄, A₆ nuktalar yotsin. U holda (A₁A₂) bilan (A₄A₅), (A₂A₃) bilan (A₅A₆), (A₃A₄) bilan (A₆A₁) to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtalari bir to’g’ri chiziqda yotadi.
(A₁A₂) (A₄A₅) = x
(A₂A₃) (A₅A₆) = y
(A₃A₄) (A₆A₁) = z , x,y,z P
Haqiqatan ham, kvadrika ikkita to’g’ri chiziqqa ajratilgan bo’lsin. U holda biz aynan ikkinchi tartibli chiziqqa ichki chizilgin olti uchlik haqida gapirishimiz mumkin. Pas’kal teoremasiga asosan olti uchlikning qarama-qarshi tomonlarrining kesishgan nuqtalari bir to’g’ri chiziqda yotadi. Ikkilik prinsipi bo’yicha Paskal teoremasiga mos teorema Brianshon tomonidan isbot qilingan. Faraz qilaylik, bizga K berilgan bo’lsin. Olti uchlikning har bir uchiga shu nuqtada K ga urinuvchi to’g’ri chiziq mos keladi. Ichki chizilgan olti uchlikka K ga tashqi chizilgan olti tomonlik mos keladi. Ichki chizilgan olti uchlikning qarama-qarshi tomonlarining kesishgan nuqtasiga olti tomonlikning qarama-qarshi uchlarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziq mos keladi.
Teorema: Kvadrikaga tashki chizilgan oltiburchakning qarama-qarshi uchlarini birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlar bir nuqtada kesishadi. Bu nuqta Brianshon nuqtasi deyiladi.


Paskal va Brianshon teoremalarining xususiy hollari mavjud bo’lib, u K ga ichki (tashqi) chizilgan besh, to’rt, uch uchlik (burchak) ko’rinishda bo’ladi. Chunki xususiy holda uchlar( nuqtalar) bir-birini ustiga tushib qolishi mumkin.