1- mavzu: Umumiy o’rta ta’lim maktabda tenglama va tengsizliklarni

x
f
*
 
x
g
=
 
 
x
g
x
f
*
, 
 
 
 
 
x
g
x
f
x
g
x
f

kabi usullardir. Bunday shakl almashtirishlarni bajarish jarayonida 
yechilayotgan tenglama uchun chet ildiz hosil bo’lishi mumkin, chunki bu ayniy 
tengliklarning o’ng tomonlarining aniqlanish sohasi chap tomonlarining aniqlanish 
sohasiga qaraganda kengroqdir. 
Maktab matematika kursida irratsional tenglamalarning har ikkala tomonini 
bir xil darajaga qo’tarib yechish usuli qaraladi. 
Irratsional tenglamalarning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish usuli 
quyidagi ketma-ketlik asosida amalga oshiriladi: 
a) berilgan irratsional tenglama 
n
n
x
g
x
f
)
(
)
(

ko’rinishga keltiriladi; 
b) bu tenglamaning ikkala tomoni n darajaga ko’tariladi;
v) natijada f(x)=g(x) ratsional tenglama hosil bo’ladi; 
g) hosil bo’lgan f(x)=g(x) ratsional tenglama yechiladi va tekshirish orqali 
chet ildiz aniqlanadi. 
Ko’rsatkichli tenglama tushunchasi 10-11 sinflar uchun algebra va analiz 
asoslari kursida kiritiladi. Ko’rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan 
oldin o’qituvchi o’quvchilarga daraja, ko’rsatkichli funktsiya va ularning xossalari 
haqidagi ma'lumotlarni takrorlashi, so’ngra ko’rsatkichli tenglama ta'rifini berishi 
lozim. 
Har qanday ko’rsatkichli tenglama ayniy almashtirishlarni bajarish orqali 
algebraik yoki а
х
=в ko’rinishdagi sodda xolga keltirilib yechimlari topiladi. 
Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish darajaning quyidagi xossalariga asoslanadi: 
1. 
Agar o’zaro teng ikkita darajaning asoslari teng bo’lsa, ularning daraja 
ko’rsatkichlari ham o’zaro teng bo’ladi, ya'ni agar a
m
=а
n
bo’lsa, m=n bo’ladi, 
albatta bu erda a≠o va a≠1 bo’lishi kerak. 
2. 
Agar o’zaro teng darajalarning ko’rsatkichlari teng bo’lsa, u holda 
ularning asoslari ham teng bo’ladi, ya'ni mavhum bo’lsa, u holda aniq bo’ladi. 
Maktab matematika kursidagi ko’rsatkichli tenglamalar asoslarini tenglash, 
hosil kvadrat tenglamaga keltirish, logarifmlash, yangi o’zgaruvchini kiritish va 
guruhlash usullari bilan echiladi. 
Maktab matematika kursida logarifmik tenglamalarni yechish 10-sinfda [4] 
o’rgatiladi. 

---

Logarifmik tenglamani yechishni o’rgatishdan oldin o’qituvchi logarifmik 
funktsiya va uning xossalari haqidagi ma'lumotlarni takrorlab berishi lozim. 
log
a
f(x)=log
a 
g(x) tenglamani echish uchun f(x)=g(x) tenglamani yechish 
kerak 
va 
topilgan 
yechimlar 
ichidan 
f(x)>o,g(x)>o 
tengsizliklarni 
qanoatlantiradiganlarini tanlab olinadi. f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari esa
log
a
f(x)=log
a 
g(x) tenglama uchun chet ildiz bo’ladi. Har qanday logarifmik 
tenglama ayniy almashtirishlar yordamida uni log
a
f(x)=log
a 
g(x) ko’rinishga 
keltirilib, f(x)=g(x) tenglamani yechish orqali va yangi o’zgaruvchi kiritish orqali 
yechiladi. Logarifmik tenglamalarni yechishni uning aniqlanish sohasini topishdan 
boshlash lozim. 
«Logarifmik tenglamalar» [4] nomli mavzuda: agar birinchi tenglamaning 
hamma ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo’lsa, u holda ikkinchi tenglama 
birinchi tenglamaning natijasi bo’lishi, ayni bir ildizlar to’plamiga ega bo’lgan 
tenglamalar teng kuchli tenglamalar deb atalishi ta'kidlanadi. 
Biz algebra kursida uchratgan tenglamalarning ko’pchiligi berilgan 
tenglamadan o’nga teng kuchli tenglamaga o’tish yordamida yechilgan edi. Bir 
noma'lumli birinchi darajali tenglamalar, kvadrat tenglamalar, ko’rsatkichli 
tenglamalar shunday echilgan edi. 
Logarifmik tenglamani logarifmlar xossalaridan foydalanib yechishda 
dastlabki tenglamaning natijasi bo’luvchi tenglama hosil bo’ladi. Shuning uchun 
chet ildizlarni aniqlashga imkon beruvchi tekshirishlar zarur. Tenglamalarni 
yechishda muhimi ildizlarni yo’qotmaslik kerak. 
Maktab matematika kursida trigonometrik tenglamalarni yechish 10-sinf 
algebra va analiz asoslari [4] kursida o’rgatiladi. Bunda dastlab o’quvchilarga 9-
sinf algebra [3] kursida o’rganilgan graduslarda yoki radianlarda kosinusi, tangensi 
va trigonometrik ifodalarni shakl almashtirishda foydalaniladigan asosiy 
formulalar eslatiladi, sinuslar yigindisi va ayirmasi, kosinuslar yigindisi va 
ayirmasini ko’paytmaga keltirish formulalari keltirib chiqariladi. So’ngra eng 
sodda trigonometrik tenglamalar bo’lmish cosx=a, sinx=a va tgx=a tenglamalarni 
echish o’rgatiladi. 
Shundan so’ng «Trigonometrik tenglamalarni yechish» nomli mavzuda 
kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar, a sinx+b cosx=c ko’rinishdagi 
tenglamalar, chap qismini ko’paytuvchilarga ajratilib yechiladigan tenglamalarni 
yechib o’rgatiladi. 
Ma'lumki, trigonometrik tenglama qanchalik murakkab bo’lmasin, u shakl 
almashtirishlar natijasida bitta yoki bir nechta sodda tenglamalarga ajraydi. 
Demak, o’quvchilar sodda tenglamalarni echa bilishlari va bu tenglamalarning 
yechimlari haqida yorqin tasavvurga ega bo’lishlari zarur.
Ko’pincha o’quvchilar sinx va cosx ko’rinishdagi tenglamalarni yechish 
jarayonida sinx va cosx ning qiymatlari to’plami -1≤a≤1 kesmada ekanini hisobga 
olmay, a har qanday xaqiqiy son bo’lganda ham to’g’ridan-to’g’ri formulani 
qo’llayveradilar. Shuning uchun ular sodda trigonometrik tenglamalarning 
yechimlari formulalaridan ko’r- ko’rona emas, balki ongli ravishda foydalanishga 
o’rganishlari lozim. Biror sodda trigonometrik tenglama berilgan bo’lsa, o’quvchi, 

---

avvalo, bu tenglama yechimlarga egaligi yoki ega emasligi haqida fikr yuritish 
malakasiga ega bo’lishi kerak. 
O’quvchilarga trigonometrik tenglamalarni yechish jarayonida trigonometrik 
tenglamalar yechimlarini tekshira bilishni ham o’rgatish maqsadga muvofiqdir. 
Ba'zi trigonometrik tenglamalarni yechish jarayonida ularning ayrim ildizlari 
yo’qolishi mumkin. 
Agar tenglamani yechish maqsadida bajariladigan shakl almashtirishlar 
jarayonida berilgan trigonometrik tenglamaning aniqlanish sohasi toraya borsa, 
ya'ni biror shakl almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamaning aniqlanish 
sohasi o’zidan oldingi tenglama aniqlanish sohasining biror qismidan iborat bo’lsa, 
u holda berilgan trigonometrik tenglamaning barcha yoki ba'zi ildizlari yo’qolishi 
mumkin. Yo’qolgan ildizlarni esa aniqlanish sohasini toraytiradigan shartlarga 
qarama-qarshi shartlardan foydalanib, yechimlarni tekshirish orqali topamiz. 
Tenglamaning ildizlari yo’qolmasligi uchun uni yechish jarayonida faqat 
shunday shakl almashtirishlardan foydalanish kerakki, natijada berilgan. 
Tenglamaning aniqlanish sohasi xech o’zgarmasin boshqacha aytganda, faqat 
aynan shakl almashtirishlarni bajarishi kerak. 
Ba'zi trigonometrik tenglamalarni yechish jarayonida chet ildizlar paydo 
bo’lishi mumkin, ular asosan, quyidagi xollarda paydo bo’lishi mumkin: 
a) tenglamani yechishda bajariladigan shakl almashtirishlar jarayonida 
berilgan trigonometrik tenglamaning aniqlanish sohasi kengayganda; 
b) shakl almashtirishlar natijasida berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi 
o’zgarmagan xollarda: tenglamaning har ikkala qismini (ratsional trigonometrik 
tenglamalar nazarda tutiladi) kvadratga kutarganda va berilgan trigonometrik 
tenglama o’zining aniqlanish sohasida ayniyat bo’lganda. 
Yuqoridagi holatlarni trigonometrik tenglamalarni echishga doir qator 
misollarni qarash bilan tushuntirish maqsadga muvofiqdir. 
Tenglamalar sistemalarini yechish haqida dastlab 7-sinf algebra [1] kursida 
ma'lumot beriladi. Bunda ikki noma'lumli birinchi darajali ikki tenglama 
sistemalarini yechishning o’rniga qo’yish usuli, qo’shish usuli va grafik usuli 
o’rgatiladi. 
8-sinf algebra [2] kursida ikkinchi darajali tenglama qatnashgan eng sodda 
sistemalarni yechish qaraladi. 
10-sinf algebra va analiz asoslari kursida ko’rsatkichli va logarifmik 
tenglamalar qatnashgan tenglamalar sistemalarini yechish o’rgatiladi. 
3. Maktab matematika kursida tengsizlik tushunchasini kiritish va o’qitish. 
Matematikaning ko’pgina tadbiqlarida muammoning qo’yilishi ko’pincha 
tengsizliklar tilida ifodalanadi. 
Tengsizliklar faqatgina yordamchi qurol emas. Matematikaning har bir 
sohasida algebra va sonlar nazariyasida, geometriya va topologiyada, extimolliklar 
nazariyasi va funktsiyalar nazariyasida, matematik fizika va differentsial 
tenglamalar nazariyasida, axborot nazariyasi va diskret matematikada – 
tengsizliklar ko’rinishida ifoda etiladigan fundamental natijalarni ko’rsatish 
mumkin. 

---

Matematikaning ko’pgina bo’limlarida, Ayniqsa, matematik analizda, 
amaliy matematikada tengsizliklar tenglamalarga qaraganda ko’proq uchraydi. 
Ma'lumki, baxtli tasodif tufayligina amaliy jixatdan muhim ayrim tenglamalar 
yechimi son yoki formulalar ko’rinishida aniq topishga erilishadi. Takribiy yechim 
uchun esa matematikada har doim xatolik bahosini ko’rsatish, ya'ni biror 
tengsizlikni isbotlash talab etiladi. Matematika va fizikada isbotning qat’iyligi 
darajasi orasidagi asosiy farqlardan biri shundan iborat: fizik «kattalikning 
tartibi»ni topish bilan kifoyalanishga rozi bo’lsa, matematik qandaydir baholarni, 
ya'ni tengsizliklarni qat’iy isbotlashga intiladi. 
Umumiy o’rta ta'lim maktabida tengsizlik tushunchasi boshlang’ich 
sinflardanoq shakllantira boshlanadi. Xuddi ana shu sinflarda solishtirilayotgan 
miqdorlar yo o’zaro teng, yoki teng bo’lmasligi mumkinligini aniqlanadi. V sinf 
o’quvchilari 7>3, 
12
5
>
5
2
shakldagi yozuvlarni bemalol ishlatadilar, chunki ularga 
60
25
,
60
24
5
2
,
60
25
12
5


>
60
24
ekanligi tushuntiriladi. 
Tengsizliklar haqida ma'lumot 8-sinf algebra [2] kursida beriladi. Unda 
musbat va manfiy sonlar haqidagi ma'lumot takrorlanadi. So’ngra sonli 
tengsizliklarni qo’shish va ko’paytirish, qa'tiy va noqa'tiy tengsizliklar, bir 
noma'lumli tengsizliklar va ularni yechish o’rgatiladi.
8-sinf algebra kursida bir noma'lumli chiziqli tengsizliklar va ularni echish 
o’rgatiladi. 
Ushbu ax>b, axtengsizliklar deyiladi, bunda a va b – berilgan sonlar, x-noma'lum. 
Bir noma'lumli tengsizlikning yechimi deb, noma'lumning shu tengsizlikni 
to’g’ri sonli tengsizlikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi. 
Tengsizlikni yechish –uning hamma yechimlarini topish yoki ularning 
yo’qligini aniqlash demakdir. 
O’quvchilarga tengsizliklarni yechishda qo’yidagi asosiy xossalardan 
foydalanish haqida tushuncha beriladi: 
1-xossa. Tengsizlikning istalgan xadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga, 
shu xadning ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartirgan holda o’tkazish mumkin; 
bunda tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi. 
2-xossa. Tengsizlikning ikkala qismini nolga teng bo’lmagan ayni bir songa 
ko’paytirish yoki bo’lish mumkin; agar bu son musbat bo’lsa, u holda tengsizlik 
ishorasi o’zgarmaydi, agar bu son manfiy bo’lsa, u holda tengsizlik ishorasi 
qarama-qarshisiga o’zgaradi. 
Chiziqli tengsizlikka keltiriladigan bir noma'lumli tengsizliklarni yechish 
uchun: 
1) 
noma'lum qatnashgan xadlarni chap tomonga noma'lum qatnashmagan 
xadlarni esa o’ng tomonga o’tkazish (1-xossa 
2) 
o’xshash xadlarni ixchamlab, tengsizlikning ikkala qismini noma'lum 
oldidagi koeffitsientga (agar u nolga teng bo’lmasa) bo’lish (2-xossa) kerak.

---

8-sinf algebra kursida kvadrat tengsizlik va uning yechimi haqida ma'lumot 
beriladi. «Bunda kvadrat tengsizlik va uning echimi» nomli mavzu quyidagi 
masalani yechish bilan boshlanadi: 
Masala: To’g’ri turtburchakning tomonlari 2 va 3 dm ga teng. Uning har bir 
tomoni bir xil sondagi detsimetrlarga shunday orttirildiki, natijada to’g’ri 
turtburchakning yuzi 12dm2 dan ortiq bo’ldi. Har bir tomon qanday o’zgargan? 
Bu masalani yechish (x+6) (x-1)>0 tengsizlikni yechishga keltiriladi. 
Masala shartiga ko’ra x>0 bo’lgani uchun x+6>0. tengsizlikning ikkala 
qismini x+6 musbat songa bo’lib,
x-1>0, ya'ni x>1 ni hosil qilamiz. 
Demak, to’g’ri turtburchakning har bir tomoni 1 dm dan ko’proqqa 
orttirilgan.
x
2
+5х-6>0 tengsizlikda x bilan noma'lum son belgilangan. Bu – kvadrat 
tengsizlikka misol.So’ngra kvadrat tengsizlikka ta'rif beriladi:
Agar tengsizlikning chap qismida kvadrat funktsiya, o’ng qismida esa nol 
tursa, bunday tengsizlik kvadrat tengsizlik deyiladi. 
Bu kursda kvadrat tengsizliklarni ko’paytuvchilarga ajratib yechish, kvadrat 
funktsiya grafigi yordamida yechish, intervallar usuli bilan yechish usullari 
o’rgatiladi.
Noma'lumlari absolyut miqdor belgisi ostida qatnashgan yoki modulli 
tengsizliklar 8-sinf algebra [2] kursida o’rgatiladi. 
Modulli tengsizliklarni yechish modul belgisi bo’lmagan tenglamalar va 
tengsizliklarni yechishga nisbatan umumiyroq xol deb hisoblanadi. Afsuski, 
hozirgi amaldagi [2] darslikda modulli tengsizliklarni o’rganishga nihoyatda kam 
o’rin berilgan. Shuni hisobga olib bu kabi tengsizliklarni mukammal o’rganish 
uchun faqultativ darslarda, to’garak mashgulotlarida ko’proq o’rin berishini 
o’qituvchi o’zining majburiy ishi deb qarashi kerak.
Modulli tengsizliklarni yechishni o’rgatishda dastlab o’quvchilarga sonning 
moduli tushunchasi eslatib o’tiladi va uning geometrik ma'nosi ochib beriladi. 
Shundan so’ng │x│≤a tengsizlik -a≤x≤a kush tengsizlikning xuddi o’zini 
bildirishi (bunda a>O), │x│≥a (bunda a>0) tengsizlikni esa x≥a va x≤-a 
nurlarning nuqtalari qanoatlantirishi tushuntiriladi va │ax+b││ax+b│>c, │ax+b│≥c ko’rinishidagi tengsizliklar yechib ko’rsatiladi. 
Maktab matematika kursida irratsional tengsizliklarni o’rganishga juda kam 
o’rin berilgan. 9-sinf algebra kursidagi «Daraja qatnashgan tengsizlik va 
tenglamalar» nomli mavzuda ba'zi irratsional tenglamalarni yechish haqida 
ma'lumot berilgan, irratsional tengsizliklar haqida esa umuman xech qanaqa 
ma'lumot berilmagan. Lekin mavzuni mustahkamlash uchun berilgan mashqlar 
ichida irratsional tengsizliklarni yechishga doir misollar ham bor. 
Yuqoridagi kamchiliklarni, kirish imtixonlari uchun zarurligini e'tiborga olib 
irratsional tengsizliklarni yechishni faqultativ va to’garak mashgulotlarida 
o’rganish zarur. 
Ko’rsatkichli va logarifmik tengsizliklar algebra va analiz asoslari kursining 
[4] 10-sinfida o’rgatiladi. Bunda avvalo ko’rsatkichli funktsiyalarning xossalari 
takrorlanadi va ko’rsatkichli tengsizliklarni yechish ko’pincha а
х
>а
b
yoki а
x
<а
b

---

ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishga keltirilishi, bu tengsizliklar ko’rsatkichli 
funktsiyaning o’sish yoki kamayish xossasi yordamida yechilishi o’rgatiladi. 
Bundan tashqari ko’rsatkichli tengsizliklarni yordamchi o’zgaruvchi kiritish usuli 
bilan va grafik usulda yechish yo’llari o’rgatiladi. 
O’quvchilar logarifmik tenglamalarni yechishdan ko’ra logarifmik 
tengsizliklarni yechishda birmuncha qiyinchiliklarga duch keladilar. Chunki 
logarifmik funktsiyaning asosi 1 dan katta yoki 1 dan kichik musbat son ekanligi 
logarifmik tengsizlikni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi. Bundan tashqari 
logarifmik tengsizliklarni echish logarifmik funktsiyalarning barcha xossalarini 
puxta bilishni talab qiladi. 
O’qituvchi o’quvchilarning logarifmik funktsiyalar xossalarini ko’r-ko’rona 
yodlab olishlariga yo’l qo’ymasligi kerak, chunki bu ularni logarifmik 
tengsizliklarni yechishda logarifmning xossalarini o’z o’rnida tatbik eta olmaslikka 
olib keladi. Agar o’quvchining funktsiya grafigiga qarab uning xossalarini 
tushunish ko’nikmasiga ega bo’lishga erishilsa, bunday o’quvchi mustahkam 
bilimli, chuqur muloxaza bilan ijodiy izlanishda bo’ladi. Shuning uchun har bir 
funktsiyaning xossasini uning grafigi bilan qo’shib o’rgatish zarur.
Ma'lumki, logarifmik funktsiyaning grafigi sodda grafiklardan hisoblanib, 
uning sxematik chizilishini doim yodda saklashni o’quvchilardan talab qilish zarur. 
So’ngra o’quvchi funktsiya grafigidan uning xossalarining har birini o’qiy olishi 
eng zaruriy shartdir. Agar o’quvchi grafik orqali xossalarni keltirib chiqara olish 
ko’nikmasiga ega bo’lsa, xossalarni unutib qo’ygan taqdirda ham, ularni zarur 
bo’lganda qayta tiklay oladi va shundagina ularni logarifmik tengsizliklarni 
yechishga ishonch bilan tadbiq etadi. 
Trigonometrik tengsizliklarni yechish 10-sinfda algebra va analiz asoslari 
kursida [4] o’rgatiladi. 
O’rta maktab matematika dasturida trigonometrik tengsizliklarni o’rganishga 
bir muncha kam vaqt ajratilganiga qaramay, o’rta maktabni bitirishda «Algebra va 
analiz asoslari» dan bo’ladigan yozma imtixon variantlarida, oliy o’quv yurtlariga 
kirish imtixonlari variantlarida turli tuman trigonometrik tengsizliklarni yechish 
talab qilinadi. 
O’rta maktab matematika kursida sinxa, cosxcosx≤a, cosx≥a, cosx>a kabi tengsizliklarni yechish o’rganiladi. Bunda 
o’quvchilarga trigonometrik tengsizliklarga doir misollar yechish jarayonida 
ularning yechimga ega ekanligini, yechimga ega emasligini, yechimlar 
to’plamlarini topishni, yechimlar tuplamlarining geometrik tasvirlarini yasashni 
tushuntirish maqsadga muvofiqdir.
Bir noma'lumli tengsizliklar sistemalari va ularni echish 8-sinf algebra [2] 
kursida o’rgatiladi. Bunda bir xayotiy masalani yechish bir noma'lumli 
tengsizliklar sistemasini yechishga keltiradi. Bu masala yechilgandan so’ng bir 
noma'lumli tengsizliklarga doir bir nechta misollar keltiriladi va uning yechimiga 
ta'rif beriladi. Shundan so’ng sonli oraliqlar haqida tushuncha beriladi, bu esa 
tengsizliklar sistemalarining yechimlarini ifodalashda juda muhimdir. 
Tengsizliklar sistemalarining yechimlarini izlashda son o’qidan foydalanish 
maqsadga muvofiqdir. 

---

Mustaqil o’rganish uchun savollar: 
1.Tenglama tushunchasiga ta'rif bering. 
2.Tenglamalarning qanday tiplari mavjud? 
3.Tenglama tushunchasi qanday ilmiy metod orqali kiritiladi? 
4.Tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalari maktabda qanday 
tartibda o’rganiladi? 
5.tengsizlik tushunchasiga ta'rif bering. 
6.Tengsizliklarni echishning qanday usullari mavjud?

---