1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

2 .1 - misol. L₂

,

Hilbert fazosida

u x

1 cos x cos y u y

dy

f x .

T u

x

f

x

(2.1)

2

integral tenglama berilgan. Parametr soni xos qiymat bo’ladi

(2.7) ni (2.3) ga qo’yib, (2.5) tengliklardan foydalansak,

va

larga nisbatan quyidagi

tenglamalar sistemasini olamiz.

Bu sistema

1; 2 da yagona yechimga ega va

teoremaga ko’ra, (2.9) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun							f	funktsiya	T1u		u
tenglamaning	barcha	yechimlariga,	ya’ni u	x	const	ga	(1.2-misolga			qarang)

ortogonal bo’lishi zarur va yetarli. Demak, (2.9) tenglama yechimga ena bo’lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (2.3) belgilashdan foydalansak, (2.9)

Bu yerdan ko’rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy soni olish mumkin. Bu qiymatlarni

(2.11) ga qo’yib, (2.9) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.

3-§. Fredholm teoremalari

Bu paragarafda ham ynqorida ko’rilgan

tenglamani o’rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T

operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning kompaktligi muhim rol o’ynaydi. Shuning uchun H Hilbert fazosida birorta operatorni olib, ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning operatorni ko’rinishda yozamiz. (3.2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan tenglamani va bularga qo’shma bo’lgan

A*

I

T

*

I

T *.

Quyida isbotlanadigan Fredholm teoremalari shu to’rt tenglamaning yechimlari

orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydi.

Isbot. KerA va

Im A lar A operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari

sohasi, ya’ni


Bu erdan y Im A ekanligi kelib chiqadi. Demak, Im A yopiqdir. T * operator ham
T bilan bir qatorda kompakt bo’lgani sababli, Im A * ham H ning yopiq qism fazosi bo’ladi.
Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz.

Ravshanki, KerA va Im A * o’zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan, ixtiyoriy

h KerA va x H uchun

Isbot. Agar KerA bo’lsa (ya’ni (3.3) tenglama noldan farqli yechimga ega

bo’lmasa), u holda

A

o’zaro

bir

qiymatli akslantirishdir.

Shuning

uchun,

agar

Munosabatlar _H 1

Im A

H deb faraz qilsak, u holda H ^2

H ^1 ,..., H ^k

1

H k

Isbot. Faraz qilaylik, nolmas

T

bo’lsin.

U holda 20.2-teoremani

I operator uchun qo’llab

T

I f

0 tenglama noldan farqli yechimga ega

ekanligiga kelamiz. Bu yerdan

0 soni T operatorning xos qiymati ekanligi kelib

chiqadi. 3.3-teoremaga ko’ra

dim Ker T

I

n

. Bu esa

operatorning n karrali xos qiymati ekanligini bildiradi.

23-. da chiziqli fazo ta'ri_anib, ularga ko'plab misollar keltirilgan. Chiziqli

fazo o'lchami ta'ri_anib, chekli va cheksiz o'lchamli chiziqli fazolarga misollar keltirilgan. Chiziqli fazoning qism fazosi va faktor fazosi tushunchalari bayon qilingan. Faktor fazoda elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari kiritilgan va faktor fazoning chiziqli fazo tashkil qilishi ko'rsatilgan. 24-. Da chiziqli funksionallar, ularning xossalari qarab chiqilgan. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi ochib berilgan. Chiziqli funksionallar va gipertekisliklar o'rtasida biyektiv moslik o'rnatilgan. 25-. qavariq to'plamlar va qavariq funksionallarning xossalarini tahlil qilishga bag'ishlangan. Qavariq jism va qavariq funksionallar orasidagi bog'lanish ochib berilgan. Chiziqli funksionalni davom ettirish haqidagi Xan-Banax teoremasi va Xan-Banax teoremasining

kompleks varianti isbotlangan. Normalangan fazo Evklid fazo

bo'lishining zarur va yetarli sharti keltirilgan. Oxirgi 28-. Hilbert fazolariga bag'ishlangan. Barcha separabel Hilbert fazolari o'zaro izomor_igi isbotlangan. Hilbert fazolarining qism fazosi, qism fazoning

ortogonal to'ldiruvchisi, ortogonal qism fazolarning to'g'ri yig'indilari

qaralgan. Xuddi shunday Hilbert fazolarining to'g'ri yig'indilari ta'ri_angan. Paragraf so'ngida haqiqiy va kompleks Evklid fazolaridagi skalyar ko'paytmalardagi tafovutlar tahlil qilingan
Chiziqli fazolar va ularga misollar

Chiziqli fazo tushunchasi matematikada asosiy tayanch tushunchalardan

hisoblanadi. Yuqoridagi belgilashlarga amal qilgan holda C bilan kompleks sonlar, R bilan haqiqiy sonlar to'plamini belgilaymiz.

23.1-ta'rif. Agar elementlari x; y; z; . . . bo'lgan L to'plamda quyidagi

ikki amal aniqlangan bo'lsa. I. Ixtiyoriy ikkita x; y 2 L elementlarga ularning yig'indisi deb ataluvchi

aniq bir x + y 2 L element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y; z 2 L

elementlar uchun

1) x + y = y + x (kommutativlik),

2) x + (y + z) = (x + y) + z (assotsiativlik),

3) L da shunday µ element mavjud bo'lib, x + µ = x (nolning mavjudligi),

4) shunday ¡x 2 L element mavjud bo'lib, x + ( ¡ x) = µ (qarama-qarshi

elementning mavjudligi) aksiomalar bajarilsa;

II. ixtiyoriy x 2 L element va ixtiyoriy ∝ son (∝ 2 R yoki 2 C)

uchun x elementning ∝ songa ko'paytmasi deb ataluvchi aniq bir ∝ x 2 L

element mos qo'yilgan bo'lib, ixtiyoriy x; y 2 L va ixtiyoriy ∝; β sonlar

uchun 5) ∝(β x) = (∝ β)x;

6) 1 ¢ x = x;

7) (∝ + ) x = ∝ x + β x ;

8) ∝ (x + y) = ∝ x + ∝ y aksiomalar bajarilsa, u holda L to'plamga chiziqli

fazo yoki vektor fazo deyiladi.

Ta'rifda kiritilgan I va II amallar mos ravishda yig'indi va songa ko'paytirish

amallari deyiladi. Ta'rifda foydalanilgan sonlar zahirasiga (haqiqiy sonlar R

yoki kompleks sonlar C) bog'liq holda chiziqli fazo haqiqiy yoki kompleks

chiziqli fazo deyiladi.

Chiziqli fazolarga misollar keltiramiz. 23.1-misol. L = R haqiqiy sonlar to'plami odatdagi qo'shish va ko'paytirish

amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi. L = C kompleks

sonlar to'plami ham kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallariga nisbatan

kompleks chiziqli fazo tashkil qiladi.

23.2. L = Rn ´ fx = (x1; x2; . . . ; xn); xi 2 R; i = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda

elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi.

Ixtiyoriy x = (x1; x2; . . . ; xn) va y = (y1; y2; . . . ; yn) 2 Rn lar uchun

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn) ; (23.1)

x = (∝ x1; ∝ x2; . . . ; ∝ xn) . (23.2)

Rn¡to'plam (23.1) va (23.2) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa

ko'paytirish amallariga nisbatan haqiqiy chiziqli fazo tashkil qiladi va u n¡o'lchamli

haqiqiy chiziqli fazo deyiladi. 23.3. L = Cn ´ fz = (z1; z2; . . . ; zn); zk 2 C; k = 1; 2; . . . ; ng . Bu yerda

ham elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari (23.1) va (23.2)

tengliklar ko'rinishida aniqlanadi. Cn¡ to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi

va u n¡o'lchamli kompleks chiziqli fazo deyiladi.

23.4. L = C[a; b] ¡ [a; b] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar

to'plami. Funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amallari mos

ravishda

(f + g) (x) = f(x) + g(x) (23.3) va

(∝ f) (x) = ∝ f (x) (23.4)

ko'rinishda aniqlanadi. (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va

songa ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi.

Demak, C[a; b] to'plam chiziqli fazo tashkil qiladi.

23.5. `2 =½ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . 1P n=1 jxnj2 < 1 ¾ _ kvadrati bilan

jamlanuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu yerda elementlarni qo'shish va songa

ko'paytirish amallari quyidagicha aniqlanadi.

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . . ; xn + yn; . . .) ; (23.5)

∝x = ∝(x1; x2; . . . ; xn; . . .) = (∝x1; ∝x2; . . . ; ∝xn; . . .); ∝ 2 C. (23.6)

Yig'indi x + y 2 `2 ekanligi j a + b j2 · 2 jaj2 + 2j bj2 tengsizlikdan kelib

chiqadi. (23.5) va (23.6) tengliklar bilan aniqlangan qo'shish va songa

ko'paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak,

`2 to'plam kompleks chiziqli fazo bo'ladi.

23.6. c0 = f x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1 xn = 0 g¡ nolga yaqinlashuvchi

ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plamda ham qo'shish va songa ko'paytirish

amallari (23.5) va (23.6) tengliklar ko'rinishida aniqlanadi va ular chiziqli

fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, c0 to'plam chiziqli fazo

bo'ladi.

23.7. c ={ x = (x1; x2; . . . ; xn; . . .) . limn!1xn = a } – yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. 23.8. L = m¡barcha chegaralangan ketma-ketliklar to'plami. Bu to'plam ham 23.5-misolda kiritilgan qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Endi IV va V bobda xossalari o'rganilgan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi

funksiyalar va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini qaraymiz

23.9. Berilgan [a; b] kesmada Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar

to'plamini ˜L1[a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda elementlarni qo'shish

va elementni songa ko'paytirish amallari (23.3) va (23.4) tengliklar bilan aniqlanadi.˜L1[a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Chunki, integrallanuvchi f va g funksiyalar yig'indisi

f + g ham integrallanuvchi va tenglik o'rinli. Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi

yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish

amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. tenglik o'rinli.

Xuddi shunday integrallanuvchi funksiyaning songa ko'paytmasi yana integrallanuvchi funksiyadir. Funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari esa chiziqli fazo aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ˜L1[a; b] to'plam chiziqli fazo bo'ladi. f + g 2 Lp[a; b] ekanligi Minkovskiy tengsizligi dan kelib chiqadi. 23.11. Berilgan [a; b] kesmada aniqlangan va o'zgarishi chegaralangan funksiyalar to'plamini V [a; b] bilan belgilaymiz. Bu to'plamda ham funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallari 23.4-misoldagidek kiritiladi. Ishonch hosil qilish mumkinki, V [a; b] to'plam funksiyalarni qo'shish va songa

ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Hosil qilingan fazo o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi deyiladi va bu fazo V [a; b] bilan belgilanadi. 23.2-ta'rif. Bizga L va L* chiziqli fazolar berilgan bo'lsin. Agar bu fazolar o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib,

e kanligidan x + y $ x* + y* va ∝x $ ∝x*; (∝ ¡ ixtiyoriy son) ekanligi kelib chiqsa, u holda L va L* chiziqli fazolar o'zaro izomorf fazolar deyiladi. Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko'rinishi deb qarash mumkin. 23.3-ta'rif. Agar L chiziqli fazoning x1; x2; . . . ; xn elementlar sistemasi uchun hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli bo'lgan a1; a2; . . . ; an sonlar mavjud bo'lib,

tenglik bajarilsa, u holda x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'langan

d eyiladi. Aks holda, ya'ni (23.7) tenglikdan

ekanligi kelib chiqsa, x1; x2; : : : ; xn elementlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi. Agar x1; x2; : : : ; xn; : : : cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sistemasi chiziqli erkli bo'lsa, u holda fxng1 n=1 sistema chiziqli erkli deyiladi.

23.4-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema

mavjud bo'lib, bu fazoning ixtiyoriy n + 1 ta elementdan iborat sistemasi

chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda L n¡ o'lchamli chiziqli fazo deyiladi va

dim L = n kabi yoziladi. n o'lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan

iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi. 23.5-ta'rif. Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy n 2 N uchun n elementli

chiziqli erkli sistema mavjud bo'lsa, u holda L cheksiz o'lchamli chiziqli fazo

deyiladi va dim L = 1 ko'rinishda yoziladi. Rn va Cn fazolar n o'lchamli chiziqli fazolardir. L = C[a; b] fazodan

boshlab 23.4-23.11 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o'lchamli fazolardir.

Masalan, `2 fazoda

sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo'ladi.

Chiziqli fazoning qism fazosi

Bizga L chiziqli fazoning bo'sh bo'lmagan L0 qism to'plami berilgan bo'lsin.

23.6-ta'rif. Agar L0 ning o'zi L da kiritilgan amallarga nisbatan chiziqli

fazoni tashkil qilsa, u holda L0 to'plam L ning qism fazosi deyiladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar ixtiyoriy x; y 2 L0 va a; b 2 C(R) sonlar uchun ax + by 2 L0 bo'lsa, L0 ga qism fazo deyiladi.

Har qanday L chiziqli fazoning faqat nol elementdan iborat fµg qism

fazosi bor. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy L chiziqli fazoni o'zining qism fazosi sifatida qarash mumkin. 23.7-ta'rif. L chiziqli fazodan farqli va hech bo'lmaganda bitta nolmas elementni saqlovchi qism fazo xos qism fazo deyiladi.

23.12-misol. `2 ½ c0 ½ c ½ m fazolarning har biri o'zidan keyingilari

uchun xos qism fazo bo'ladi. 23.13. Endi [a; b] kesmada p(p ¸ 1)¡ darajasi bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi ˜Lp [a; b] ni qaraymiz. Bu fazoning nolga ekvivalent funksiyalaridan tashkil topgan qism to'plamni ˜L(0) p [a; b] ko'rinishda belgilaymiz. Ma'lumki, nolga ekvivalent funksiyalar yig'indisi yana nolga ekvivalent bo'lgan

funksiya bo'ladi. Nolga ekvivalent funksiyaning songa ko'paytmasi ham nolga ekvivalent funksiya bo'ladi. Demak, ˜L (0) p [a; b] to'plam ˜Lp [a; b] fazoning xos qism fazosi bo'ladi. 23.14. O'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz.

Ma'lumki, [a; b] kesmada absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami V [a; b] ning qism to'plami bo'ladi. Absolyut uzluksiz funksiyalar to'plami funksiyalarni

qo'shish (23.3) va songa ko'paytirish (23.4) amallariga nisbatan yopiq to'plam. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u AC[a; b] bilan

belgilanadi.

23.15. V [a; b] fazoda f(a) = 0 shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar

to'plamini qaraymiz. Bu to'plam funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq to'plamdir. Shuning uchun u V [a; b] fazoning qism fazosi bo'ladi va u V0[a; b] bilan belgilanadi.

23.16. Yana o'zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V [a; b] ni qaraymiz.

Ma'lumki, [a; b] kesmada monoton funksiyalar to'plami V [a; b] ning

qism to'plami bo'ladi. Ammo ikki monoton funksiyaning yig'indisi har doim

monoton funksiya bo'lavermaydi. Bunga quyidagi misolda ishonch hosil qilish mumkin. x(t) = t2 +1 ; y(t) = ¡2t funksiyalarning har biri [0; 2] kesmada monoton funksiya bo'ladi, ammo ularning yig'indisi x(t) + y(t) = (t ¡ 1 )2 funksiya [0; 2] kesmada monoton emas.

Demak, [a; b] kesmada monoton

funksiyalar to'plami V [a; b] fazoning qism fazosi bo'la olmaydi. Demak, chiziqli

fazoning har qanday qism to'plami qism fazo tashkil qilavermas ekan.

Bizga L fazoning bo'sh bo'lmagan fxig qism to'plami berilgan bo'lsin. U

holda L chiziqli fazoda fxig sistemani o'zida saqlovchi minimal qism fazo

mavjud. Haqiqatan ham, fxig sistemani saqlovchi hech bo'lmaganda bitta qism

fazo mavjud, bu L ning o'zi.

Ixtiyoriy sondagi qism fazolarning kesishmasi yana qism fazo bo'ladi. Haqiqatan

ham, agar

L* = Li

bo'lib x; y 2 L* bo'lsa, u holda ta'rifga ko'ra ixtiyoriy i uchun x; y 2 Li

bo'ladi. Li qism fazo bo'lganligi uchun ∝ x + ¯ y 2 Li munosabat barcha ∝; ¯ sonlar uchun o'rinli. Demak, ∝ x + ¯ y 2 L* bo'ladi.

Endi fxig sistemani saqlovchi L ning barcha qism fazolarini olamiz va

ularning kesishmasini qaraymiz hamda uni L (fxig) orqali belgilaymiz. L (fxig) qism fazo fxig sistemani saqlovchi minimal qism fazo bo'ladi. Bu L(fxig) minimal qism fazo fxig sistemadan hosil bo'lgan qism fazo yoki fxig sistemaning chiziqli qobig'i deyiladi.

Xulosa

Функционал анализ фанининг пайдо бўлишида интеграл тенгламаларни ечиш усулларини ишлаб чиқиш катта аҳамиятга эга бўлган. Интеграл операторлар назариясининг ривожланиши компакт операторлар назариясининг ривожида муҳим ўрин тутган. Функционал аналтз курсини ўрганишда интеграл операторлар ва уларга боғлиқ интеграл тенгламаларни билиш зарурдир. Битирув малакавий ишида интеграл тенгламаларнинг баьзи масалалари қараб чиқилди.

Bitiruv malakaviy ishining dastlabki ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar ta’rifi, asosiy xossalari ham chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalalar berilgan.

Ishning co’ngi ikkita paragrafida chiziqli integral tenglamalar uchun Fredholm teoremalari ham aynigan yadroli integral tenglamalar qaralgan.

Adabiyotlar dizimi

1. 
   Аюпов Ш.А., Ибрагимов М.М., Кудайбергенов К.К. Функционаллық анализден мисол ва масалалар, Нөкис, «Билим», 2009.
   
2. 
   Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007.
   
3. 
   Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009.
   
4. 
   Gorodetskiy V.V., Nagnibida N.I., Nastasiev P.P. Metody resheniya zadach po funksional'nomu analizu. M.: Vysshaya shokla, 1990.
   
5. 
   Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funksional'niy analiz. M.: Nauka, 1977.
   
6. 
   Kirillov A.A., Gvishiani A.D. Teoremi i zadachi funksional'nogo analiza. M.: Nauka, 1979.
   
7. 
   Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977.
   
8. 
   Kutateladze S.S. Osnovy funksional'nogo analiza. Novosibirsk, 2001
   
9. 
   Sarimsakov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent, O'qituvchi, 1980.
   

10. Sarimsakov T.A. Haqiqiy o'zgaruvchili funksialar nazariyasi. Toshkent,

1989.