1-§. Chiziqli fazo va uning xossalari



Download 139,2 Kb.
bet2/3
Sana10.02.2022
Hajmi139,2 Kb.
#440013
1   2   3
Bog'liq
ochiq dars 2

2-§. Normalangan fazolar
Ta’rif. Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lib, uning har bir x elementiga haqiqiy, ||x|| orqali belgilangan sonni mos qo‘yuvchi ||||:X akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar bu akslantirish
1. Har doim ||x||0. Shuningdek, x= uchun ||x||=0 va aksincha, agar ||x||=0 bo‘lsa, u holda x;
2. Ixtiyoriy  son uchun ||x||=||||x||;
3. Ixtiyoriy ikki x va y elementlar uchun ||x+y||||x||+||y||
shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Bu shartlar norma aksiomalari deb ham yuritiladi. Uchinchi shart uchburchak aksiomasi deyiladi.
Norma kiritilgan chiziqli fazo normalangan fazo deyiladi. Odatda ||x|| son x elementning normasi deyiladi. Agar (x,y)=||x-y|| belgilash kiritsak, u holda (x,y) metpika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday normalangan fazo metrik fazo bo‘ladi.
Aytaylik X normalangan fazo bo‘lsin.
Ta’rif. Nol,  elementning >0 atrofi deb, U={x: ||x||<} to‘plamga aytiladi.
Bu kiritilgan U to‘plam, norma yordamida aniqlangan metrika tilida, markazinuqtada, radiusi  bo‘lgan ochiq shar deyiladi.
Shuningdek, xX elementningatrofi deb x+U to‘plamga aytiladi.
Eslatib o‘tish lozim, V={x: ||x||} to‘plam markazinuqtada, radiusi bo‘lgan yopiq shar deyiladi.
Kelgusida, X1={x: ||x||1} to‘plam X normalangan fazoning birlik shari deyiladi.
Normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun, normalangan fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish mumkin.
Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
Aytaylik X normalangan fazoda {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar biror x element uchun {||xn-x||} sonli ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashadi deyiladi va xnx kabi belgilanadi.
Shuningdek, agar {||xn-xn+m||} sonli ketma-ketlikning limiti, ixtiyoriy m uchun 0 ga teng bo‘lsa, u holda {xn} ketma-ketlik fundamental deyiladi.
Agar X normalangan fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda bu fazo to‘la deyiladi.
To‘la normalangan fazo qisqacha Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi.
Misollar. 1) Agar x haqiqiy son uchun ||x||=|x| deb olsak, u holda 1 chiziqli fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi.
2) n o‘lchamli n haqiqiy fazoda x=(x1, x2, . . . , xn) element uchun normani quyidagicha kiritamiz:
(1)
Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi – Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.
Shu n fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin:
(2) (3)

3) C[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: . Ravshanki, bu norma uchun ham 1, 3 shartlar bevosita bajariladi. 2 shartining bajarilishini ko‘rsatamiz.


Har qanday nuqta va f, g funksiyalari uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
.
Bu yerda t ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan kelib chiqadi.
4) m chiziqli fazoda x=(x1, x2, . . . , xn . . .) elementining normasi deb songa aytamiz. Bu misol uchun norma aksiomalari bevosita tekshiriladi.
Normalangan X fazoning X0 vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda X0 ni normalangan X fazoning qism fazosi deyiladi.
Uchinchi misoldagi fazoda olingan P(x) ko‘phadlar to‘plami yopiq bo‘lmagan vektor qism fazoga misol bo‘ladi. Demak, normalangan fazo ma’nosida P(x) fazo ning qism fazosi emas.
Normalangan X fazoda biror A to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan vektor qism fazoni olamiz. ni A to‘plamning chiziqli yopilmasi deyiladi.
Agar elementlarning biror {xn} sistemasi uchun, uning chiziqli yopilmasi X fazoning o‘ziga teng bo‘lib qolsa, u holda {xn} sistema to‘la sistema deyiladi.
Yuqoridagi 1, n, C[a,b] fazolarning to‘laligini ko‘rsatish mumkin, (masalan [1,2,3] kitoblarga qarang). Demak, ular Banax fazolaridir.
Yana misollar ko‘ramiz.
5) C2[a,b] – kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar fazosida normani quyidagicha kiritamiz: .
Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Uchburchak aksiomasi umumiy holda isbotlangan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Bu fazoning to‘la emasligi [3] da ko‘rsatilgan.
6) l2 haqiqiy fazoda normani
, x=(x1, x2, . . . ,xn, . . .)
ko‘rinishida kiritsak, l2 fazo B - fazoga misol bo‘ladi.
Banax fazosiga muhim bir misol ko‘ramiz. X kompakt to‘plam bo‘lib, C(X) fazo X da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi bo‘lsin. Ravshanki, C(X) chiziqli fazo bo‘ladi.
Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz: .
Bu sonning chekli ekanligi II bob 7-paragrafdagi 2-teoremadan kelib chiqadi. Normaning xossalari esa bevosita tekshiriladi.

Download 139,2 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish