§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха



Download 48,05 Kb.
bet1/6
Sana10.07.2022
Hajmi48,05 Kb.
#771655
  1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Лекция№20


§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы.
Теорема Хана — Банаха
Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе
многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические пред­ставления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку.
Пусть некоторое линейное действительное про­странство и — две его точки. Назовем замкнутым отрезком в , соединяющим точки и , совокупность всех элементов вида
, где .
Отрезок без концевых точек и называется открытым от­резком.
Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками и содержит и соединяющий их отрезок.
Назовем ядром произвольного множества сово­купность таких его точек , что для каждого найдется та­кое число , что при .
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.
Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на от­резке множество функций, удовлетворяющих условию . Это множество выпукло; действительно, если и , то при

Упражнение. Проверить, является ли это множество выпуклым телом.
3. Единичный шар , т. е. совокупность таких точек что есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек , удовлетворяющих условию
4. Основной параллелепипед в — выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть ; это означает, что для всех . Положим . Пусть , т. е. ; тогда

откуда , т. е. ядро множества пусто.
Упражнения. 1. Пусть совокупность точек из , удовлетворяющих условию .Доказать, что выпуклое множество, но не выпуклое тело.
2. Доказать то же самое для множества точек в , каждая из которых ймеет лишь конечное число отличных от нуля координат.
Если выпуклое множество, то его ядро тоже вы­пукло. Действительно, пусть и Тогда для данного найдутся такие и , что при , точки и принадлежат множеству , следовательно, ему принадлежит и точка при т. е.
Установим следующее важное свойство выпуклых множеств.

Download 48,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish