§. Natural va butun sonlar

22- §. Arifmetik progressiya.

Agar (a_n) ketma-ketlik a₁ =a va ixtiyoriy n natural son uchun a_n+1 =a_n+d shart o’rinli bo’lsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Bunda a va d arifmetik progressiyaning mos ravishda birinchi hadi va ayirmasi deyiladi. Arifmetik progressiya monoton ketma-ketlik bo’ladi: agar d>0 (a_n+1-a_n= d>0) bo’lsa, o’suvchi bo’ladi; agar d<0 (a_n+1-a_n= d<0) bo’lsa, kamayuvchi bo’ladi; agar d=0 bo’lsa, o’suvchi bo’lmaydi.

Arifmetik progressiyaning n- hadi uchun quyidagi formula o’rinli bo’ladi.

a_n =a +d(n-1)

isboti: Arifmetik progressiya uchun a₂-a₁ =d, a₃- a₂ =d, a₄-a₃ =d,……….a_n-a_n-1 =d shartlar o’rinlidir.

Buni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.

a₂ =a₁+ d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ =a₁+3d,……….a_n= a₁+(n-1)d

Arifmetik progressiya quyidagi xossalarga ega.

1. 
   a_n =
   
2. 
   a_k +a_m =a_p+a_q (k+m =p+q)
   

Arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi uchun quyidagi formula o’rinlidir.

S_n = a₁+a₂+a₃+….+a_n ==

Isboti: Agar S_n = a₁+a₂+a₃+….+a_n bo’lsa, unda S_n = a_n + a_n-1+ a_n-2 +…..+ a₂ + a₁ tenglik ham o’rinli bo’ladi. Bu ikki tenglikni qo’shib yuborib hamda xossasidan foydalansak isbotlanishimiz kerak bo’lgan formula kelib chiqadi.

22-Mashq.

1.Uch xonali sonlar ichida 12 ga qoliqsiz bo’linmaydigan sonlar yig’indisini toping.

A) 453150 B)453180 C)82800 D)454210

2.a₁, a₂, a₃,……… a_k arifmetik progressiyaning hadlaridir. Bu hadlar quyidagi shartlarni qanoatlantiradi.

a₄+a₇+a₁₀ =17 a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=77

Bu progressiyaning ayirmasini toping.

1. 
   1 B)2/3 C)2 D)3/4
   

3. arifmetik progressiyaning nechta hadi manfiy?

A) 10 B)6 C)5 D)7

4. Hadlari fo`rmula bilan berilgan ketma-ketlikning dastladki o`ttiztta hadi yig`indisini toping.

A) 2010 B) 1900 C) 2100 D) 1940

5. y; 3y+5; 5y+10;… arifmetik progressiyaning dastlabki 8 ta hadi yig`indisi 396 ga teng. y ning qiymatini toping.

A) 2 B)3 C)4 D)5

6. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadining yig`indisi formula bilan topilsa, uning umumiy hadi qanday ifodalanadi?

A) B)C)

D)

7. arifmetik progrssiyaning dastlabki n ta hadi yig`indisi bo`lsa, ning qiymatini toping.

A) 0 B) C) D)

8. Arifmetik progressiyaning dastlabki to`rtta hadi yig`indisi 124 ga oxirgi 4 tasiniki 156 ga teng. Progressiyaning hadlari yig`indisi 350 ga teng. Progresiyaning nechta hadi bor?

A)8 B)9 C)11 D)10

9. a₁ +a₇ =38 va a₂a₄ =95 shartlarni qanoatlantiruvchi arifmetik progressiyani aniqlang.

Javob: (-2;512;19;26….)

10. a₃ +a₆ =16, a₃ a₆ =55 shartlarni qanoatlantiruvchi arifmtik progressiyada (a_n) nechta hadining yig’indisi 81 ga teng bo’ladi?

Javob: (9)

11. Agar arifmetik progressiyada a₅+a₈+a₁₁+a₁₄ =26 shart o’rinli bo’lsa, dastlabki 18 ta hadining yig’indisini aniqlang.

Javob: (117)

12. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi S_n = 5n² -2n orqali hisoblansa, bu arifmetik progressiyani aniqlang.

Javob: ( 3;13;23;33……)

13. Agar arifmetik progressiyaning dastlabki n ta hadi yig’indisi S_n = 4n² -7n orqali hisoblansa, progressiyaning o’n uchinchi hadini aniqlang.

Javob: (93)

14. Agar arifmetik progressiyada (a_n) a₁₆ =1 bo’lsa, a₁ +a₇+a₁₃+a₁₉+a₂₅+a₃₁ yig’indini hisoblang.

Javob:(6)

15. (a_n) o’suvchi arifmetik progressiyada S₃ =21 va a₁² +a₂² +a₃² =165 shartlar o’rinli bo’lsa, a₆ ning qiymatini aniqlang.

Javob:(19)

16. Agar arifmetik progressiyada 3 shart qanoatlantirsa, ning qiymatini aniqlang.

Javob: (0,3)

17. Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi yig’indisi 0 ga, bu hadlarning kvadratlari yig’indisi 98 ga teng bo’lsa, progressiyaning birinchi hadi va ayirmasini aniqlang.

Javob: ( a₁ =7 va d =-7 yoki a₁ =-7 va d =7 )

18. Agar arifmetik progressiyada shart bajarilsa, nisbatni qiymatini aniqlang.

A) 29/21 B) 39/31 C) 41/19 D) 59/27

19. Agar arifmetik progressiyada

shart bajarilsa, nisbatni qiymatini aniqlang.

A) 29/21 B) 39/31 C) 41/19 D) 59/27

20. Arifmetik progressiya va geometric progressiyaning birinchi va uchinchi hadlari bir xil son bo’lib, ikkinchi hadlari bir-biridan 4 gafarq qiladi. Agar bu progressiyalarning birinchi hadi 2 ga teng bo’lsa, progressiyalarning uchinchi hadini toping.

A) 6 B)10C)18 D) shart yetarli emas