|
6 - §. Sonning butun va kasr qismi.
x haqiqiy sonning butun qismi deb, x dan oshmaydigan eng katta butun songa aytiladi.
X sonining butun qismi [x] ko’rinishida yoziladi.
Misol uchun [3,8] = 4, [-3,8] = -4
Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tenglik o’rinlidir.
[x] x <[x]+1
X haqiqiy sonining kasr qismi deb, x va uning butun qismi ayirmasiga aytiladi.
X sonining kasr qismi {x} ko’rinishida yoziladi.
Har qanday x haqiqiy son uchun quyidagi tengliklar o’rinlidir.
x = [x] + {x}, {x} = x - [x]
Misol uchun {3,8} = 3,8-3 = 0,8 , {-3,8} = (-3,8) – (-4) =0,2
X haqiqiy sonning butun qismi doimo butun son bo’ladi: Ya’ni [x] Z
X haqiqiy sonning kasr qismi doimo quyidagi shartni qanoatlantiradi.
0 {x}<1
X haqiqiy son va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik doimo qanoatlantiradi.
[x+n] = [x] + n
Misol uchun [3,8 + 4] = [3,8]+4
6-Mashq.
1.[x-1] + [x+3] = 12 tenglamani yeching
2. [x] – [x+2] +[x+4] = 18 tenglamani yeching.
3. [-2x] + [1-2x] + [3-2x] = 1 tenglamani yeching.
4. [x] =  x tenglamani yeching.
5. [2x-1] = x+1 tenglamani yeching.
6. [ ] =  tenglamani yeching.
7. [3x2 -x] = x+1 tenglamani yeching.
8. [ x2] = x tenglamani yeching.
9. Agar a sonini m soniga bo’lganda qoldiq r bo’lsa,
[ ] =  tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
10.Agar nN shart o’rinli bo’lsa,  tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
11. Agar EKUB (a;4) = 1 shart o’rinli bo’lsa,  tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsating.
12. [x] = 3x+1 tenglamani yeching.
13. [x]{x} = 1 tenglamani yeching.
14. {x} = 1-x tenglamani yeching.
15. x = 2[x] –{x} tenglamani yeching.
7 - §. Algebraik ifodalar
Ko’phadlarning umumiy ko’rinishi P(x) = anxn +an-1xn-1+…….+a2x2 + a1x+a0 shaklda bo’ladi. Agar x=1 qiymatni P(x) ko’phadga qo’ysak
P(1) = an1n +an-11n-1+…….+a2 12 + a1 1+a0 = an +an-1+an-2+……+a2 + a1 + a0 (1)
ko’rinishda bo’ladi. Bundan shuni xulosa qilish mumkinki ko’phadning koeffitsientlari yig’indisini topish uchun P(1) ko’phadning qiymatini hisoblash kerak ekan.
Faraz qilaylik agar n juft son bo’lsa, x=-1 qiymatda P(-1) = an(-1)n +an-1(-1)n-1+…….+a2 (-1)2 + a1 (-1)+a0 = an -an-1+an-2+……+a2 - a1 + a0 (2)
shaklda bo’ladi.
Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni qo’shib yuborsak
P(1)+P(-1) = 2an + 2an-2 + ……+2a2 +2a0 (3)
shakl hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (3) ifodani quyidagicha shaklda yozib olamiz.
an + an-2 + ……+a2 +a0 =  (P(1)+P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning juft darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi.
Agar yuqoridagi (1) va (2) ifodalarni ayirib yuborsak
P(1) – P(-1) = 2an-1 + 2an-3 +…..+2a3 +2a1 (4)
tenglik hosil bo’ladi. Bu yuqoridagi (4) ifodani quyidagicha shaklda yozib olish mumkin.
an-1 + an-3 +…..+a3 +a1 = (P(1)-P(-1)) . Bu hosil bo’lgan tenglik P(x) ko’phaddagi x ning toq darajalari oldidagi koeffitsiyentlari yig’indisi deyiladi. Biz n son juft bo’lgan holatdagi ko’phad bo’yicha ko’rib chiqdik. Yuqoridagi hosil bo’lgan natijaviy shartlar n toq son bo’lgan holatda ham o’rinli bo’ladi. Bunga o’zingiz mustaqil ravishda ishonch hosil qilib ko’ring.
Sizga algebraik ifodalarning boshlang’ich nazariyasidan qisqa ko’paytirish formulalarining oddiy shakllari ya’ni (ab)2 va (ab)3 ko’phadlar yoyilmasi shaklda yozish ma’lumdir.
Bu qisqa ko’paytirish formulalarni ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda siz darajada qaysi son turgan bo’lsa, shuncha ko’paytuvchilarga ajratib so’ngra ko’paytmani hisoblash kerak edi. Ya’ni
(ab)2 = (ab) (ab) = a22ab+b2
(ab)3 = (ab) (ab) (ab)= a33a2b+3ab2b3
Siz bu amallarni har doim takrorlamasligiz uchun oxirida hosil bo’lgan ko’phad yoyilmasini yod olishga majbur edingiz. Lekin siz bu yuqoridagi amallarni darajasi 2,3 yoki ko’pi bilan 4 bo’lgan holatda bajara olishingiz mumkin. Siz bilan birgalikda umumiy holatda (a+b)n ko’phad yoyilmasi shaklda yozishda 2 ta buyuk matematik Paskal va Nyutonning ishlarini ko’rib chiqamiz.
Paskal aniqlagan usul.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……………………….
Bu yuqoridagi ajoyib uchburchak matematikada Paskal uchburchagi deb nom olgan. Bu uchburchakning har bir qatoridagi son o’zidan oldingi turgan qatorning o’sha o’rindagi va bitta oldingi sonning yig’indisiga teng. Ya’ni 6 – qatorning 3 o’rnida 10 soni turibdi. Bu son 5 - qatorning 3 o’rnidagi va 2 o’rnidagi sonlar yig’indisiga tengdir.
Bu uchburchakning har bir qatoridagi sonlar (a+b)ndarajani ko’phad yoyilmasi shaklda yoyishdagi koeffitsiyentlarga tengdir.
Misol: (a+b)5 va (a-b)5 darajalarni Paskal uchburchagi yordamida ochib chiqamiz.
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a-b)5 = (a+(-b))5 = a5 +5a4(-b)+10a3(-b)2+10a2(-b)3+5a(-b)4+(-b)5= a5-5a4b+10a3b2-10a2b3+5ab4-b5
2)Nyuton aniqlagan usul.
Bu Nyuton tomonidan aniqlangan usul Nyuton binomi deyiladi.  - binomial koeffitsiyent deyiladi va  tenglik orqali hisoblanadi.
Misol: (x+y)6 darajani Nyuton binomi usulida ochib chiqamiz.
 =x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6
Do'stlaringiz bilan baham: | 
