* Цыганов Шамиль Ирекович – к ф. м н., доцент, заместитель декана по научной работе математического факультета

i
, которому предстоит решить j-
ое тестовое задание, уровень трудности которого 
характеризуется другим латентным параметром β
j
. 
На выходе мы имеем наблюдаемый результат вы-
полнения теста a
ij
, равный 0 или 1 в зависимости от 
того решено или не решено правильно данное зада-
ние. Если говорить точнее, то взаимодействие двух 
множеств значений латентных параметров, состоя-
щих из N испытуемых с их уровнями подготовки θ
i
и m заданий теста с их уровнями трудности β
j
, по-
рождает матрицу наблюдаемых результатов вы-
полнения теста, состоящую из 0 и 1. Очевидно, что 
элементы матрицы a
ij
являются случайными вели-
чинами, поскольку даже очень сильный ученик 
может не решить простейшую задачу в силу неле-
пой арифметической ошибки или чего-либо подоб-
ного. На практике обычно приходится решать обрат-
ную задачу: зная таблицу результатов испытуемых, 
находить значения латентных параметров θ
i
и β
j
.
Для решения этой задачи датский математик 
Г. Раш предложил ввести в рассмотрение разность 
θ – β, в предположении, что латентные параметры θ 
и β измеряются в одной и той же шкале. Пусть 
p
ij
= P(θ
i
 – β
j
) – вероятность того, что i-ый испытуе-
мый правильно выполнит j-ое задание. Если пред-
ложенная разность отрицательна и велика по моду-
лю, то данное задание бесполезно для измерения 
уровня знаний данного испытуемого. Он наверняка 
не выполнит его, т.е. p
ij
→ 0 при θ
i
 – β
j
→ – ∞. Боль-
шие положительные значения разности также не 
интересны, т.к. означают, что ученик освоил задачи 
данного уровня трудности и наверняка решит 
предложенное задание верно, т.е. p
ij
→ 1 при
θ
i
 – β
j
→ ∞. Кроме того, положим P(0) = 0.5. В ТМПТ 
эту функцию принято называть функцией успеха.
При построении своей теории Г. Рашу удалось 
решить две принципиальнейшие проблемы. Пер-
вый важнейший прорыв состоит в том, что вычис-
ляемый уровень подготовленности испытуемого 
инвариантен относительно трудности заданий. Это 
означает, что если одному и тому же испытуемому 
предъявить два теста, один из которых состоит из 
легких заданий, а другой из сложных, то, очевидно, 
что баллы за первый тест будут выше. При этом 
значение уровня подготовленности, вычисленное 
по результатам выполнения первого теста, совпадет 
со значением уровня подготовленности, вычислен-
ным по результатам второго теста.
Аналогично, уровень трудности задания инва-
риантен относительно уровня подготовленности 
испытуемых, которые решают данное задание. 

---

ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2009. Т. 14. №3 
1265 
Точнее, эти требования были введены Рашем в сис-
тему аксиом его теории. 
Второй важный момент теории рашевых изме-
рений состоит в том, что параметры θ и β измеря-
ются по одной и той же шкале. 
Приведем без вывода функцию успеха в дихо-
томической модели Раша:
(
)
j
i
j
i
e
e
P
p
j
i
ij
β
θ
β
θ
β
θ
−
−
+
=
−
=
1
. 
(1) 
Полученная вероятность зависит только от 
разности θ – β, поэтому часто называется однопа-
раметрической моделью Раша.
Зафиксировав β