§ 21. Ўзгарувчи оператор тип коэффициентли бузиладиган иккинчи тартибли дифференциал тенгламалар

§ 21. Ўзгарувчи оператор тип коэффициентли бузиладиган иккинчи тартибли дифференциал тенгламалар

Бу параграфда Ҳам оддийлик учун H ҳақийқий Гильберт фазосида операторнинг асосий қисми ушбу ифодадан

иборат дифференииал тенгсизликни қараймиз.
Бузилиш тартиби р<2 булганда мос масала изланиши биринч тартибти тенгламанинг усулига ўхшаш бўлгани учун р≥2 ҳолни қараймиз. Ушбу иккинчи тартибли дифференциал тенгсизликни қараймиз:
(21.1)
Таъриф 21.1 функцияси (21.1) тенгсизликнинг ечими бўлади, агар:
1) да узлуксиз ва (D-A операторнинг аникланиш соҳаси);
2) да мавжуд;
3) да (21.1) тенгсизликни қаноатлантиради.
Лемма 21.1. Фараз қилайлик таърифнинг 1), 2) шартларини каноатлантирсин,
функциялар мос равишда ларга тегишли бўлиб,
бўлсин. У ҳолда ушбу тенгсизлик ўринли:






(21.2)


Исбот. бўлсин. Уҳолда

ва

Бу ердан










Бу ерда

Юқоридаги натижаларни бирлаштириб топамиз:








Энди функцияга қайтамиз. ни ўз ичига олган ифодалар қуйидагича ўзгаради:






(I бирлик оператор). Шунинг учун функциясига қайтганимизда (худди шунингдек ва )олдидаги коэффициент фақат га кўпайтирилади. Унда олдидаги коэффициент қуйидагига тенг бўлади:



Дивергент ҳад олдидаги коэффициент эса кўпайтма аниқлигида ушбу кўринишга эга бўлади:


Булардан эса лемма исботи келиб чиқади.
Энди бўлганда ларни қандай танлаш кераклигини аниқлаймиз.
Лемма 21.2 Фараз қилайлик и(t) функция 21.1-таърифнинг биринчи иккита шартини қаноатлантирсин, бўлиб, ўзгармаслар билан ушбу

шарт бажарилсин. У ҳолда ушбу





тенгсизлик ўринли,бу ерда
Исбот. (21.2) тенгсизликдаги параметрларни қуйидагича танлаймиз:






У ҳолда



ва (21.2) тенгсизликнинг коэффициентлари учун топамиз:





олдидаги коэффициентларни баҳолаймиз:


Ундан ташқари

ва охирида

Шундай қилиб, функциялар бундай танланса, олдидаги коэффициент қуйидан ушбу катталик билан баҳоланади:

Лемма исботланди.
Теорема 21.1 . Ихтиёрий билан берилган (21.1) тенгсизликнинг ечими учун ихтиёрий ларда

ўринли бўлсин. У ҳолда
Исбот. Юқорида ҳосил қилинган тенгсизликларни эътиборга олиб топамиз:




Бундаги ва параметрларни шундай танлаймизки, қуйидаги тенгсизликлар ўринли бўлсин:

У ҳолда 21.2-леммадаги шартни қаноатлантирувчи t лар учун ушбу тенгсизлик ўринли эканлигини кўриш қийин эмас:

Бу ердан эса теоремани исботи осонгина келиб чиқади.

Изоҳ. Биринчи тартибли оператор тур коэффициентли тенгламалар учун қўйилган Коши масаласининг шартли корректлиги (оператор ўз-ўзига қўшма ва нормал бўлган холлар) С.Г.Крейн томонидан текширилган. Бу бобнинг бошида келтирилган шу ҳолларни баён этувчи теоремалар С.Г.Крейнга [11], [12] тегишли бўлиб, биз уларни М.М.Лаврентьевнинг китоби [16] буйича ёритдик. Тенгламаларда қатнашган функциянинг ҳосиласи олдидаги коэффициент оператор бўлган ҳолни эса асосан Н.А.Lеvine ишлари бўйича келтирдик [31], бу соҳага тегишли бошқа натижаларни адабиётлардан [2], [3], [21], [22], [26], [27], [29], [30], [34] топишингиз мумкин.
Иккинчи тартибли тенгламалар учун асосий натижалар С. Г. Крейн, Н.А.Lеvine ва бошҳаларга тегишли. Биз бу ерда шу соҳага тегишли энг оддий натижаларни [12], [18], [32] лар бўйича ёритдик ( [34] га ҳам қаранг).
Биринчи ва иккинчи тартибли, бузиладиган коэффициентлари оператор турда бўлган тенгламаларга қўйилган Коши масаласи ечимининг ягоналиги ва турғунлиги ҳақидаги теоремалар С.П.Шишатскийга [28] тегишли.